74 Der engere Funktionenkalkül.

vielen Axiomen fähig sind, von grundsätzlicher Wichtigkeit. Es soll dies
an Hand eines bestimmten Beispiels gezeigt werden.

In der Untersuchung der logischen Abhängigkeitsverhältnisse
zwischen den verschiedenen Axiomgruppen der Geometrie ist es ein
besonders wichtiges und interessantes Ergebnis, daß der spezielle
Pascalsche Satz, welcher bei der Begründung der Proportionenlehre
ohne Anwendung der Stetigkeitsaxiome eine wesentliche Rolle spielt,
aus den Axiomen der Verknüpfung, der Anordnung und dem Parallelen-
axiom allein nicht bewiesen werden kann.

Wir wollen uns klar machen, daß mit der Lösung des Entscheidungs-
problems ein Verfahren gegeben wäre, durch das jene Unbeweisbarkeit
sich wenigstens grundsätzlich feststellen lassen müßte, wenn auch viel-
leicht die Umständlichkeit des Verfahrens die praktische Durchführung
illusorisch machen könnte.

Die erste wesentliche Bemerkung hierzu ist, daß wir die in Be-
tracht kommenden Axiome sowie den speziellen Pascalschen Satz durch
unseren logischen Kalkül ausdrücken können. Zunächst können die
Axiome so umgeformt werden, daß nur von einer Art von Dingen,
nämlich von Punkten die Rede ist. Wir brauchen dazu nur anstatt
der Grundbeziehung zwischen Punkten und Geraden (‚„‚der Punkt x
liegt auf der Geraden y“ oder ‚‚die Punkte x, y bestimmen die Ge-
rade z‘“) eine Beziehung zwischen drei Punkten Ger (x, y, z) (‚‚x, y und z
liegen auf einer Geraden“‘‘) einzuführen. Ebenso nehmen wir statt der
Grundbeziehungen zwischen Punkten und Ebenen ‘eine Beziehung
zwischen vier Punkten E (x, y, z, u) („„x, y, z, u liegen in einer Ebene“‘).

Zu diesen beiden Prädikaten müssen wir noch die Identitäts-
beziehung =(x, y) sowie die Zwischenbeziehung Zw (x, y,z) („x liegt
zwischen y und z‘‘) hinzunehmen. k

Mit Hilfe der vier eingeführten Beziehungen lassen sich nun alle
bei unserem Problem vorkommenden Axiome sowie auch der Pascalsche
Satz durch logische Formeln darstellen. Z. B. wird das Axiom: ‚‚durch
zwei Punkte geht nur eine einzige Gerade‘‘ ausgedrückt durch die Formel

(x) (y) («) (v){LGer(x, y, u) &Ger(x, y,v) &= (x, y) & = (u,‚ v)] — Ger(x,u,v)},

in Worten: „Wenn x, y und u# auf einer Geraden und x, y, v auf einer
Geraden liegen und wenn ferner x von y und “ von v verschieden
ist, dann liegen auch x, u, v auf einer Geraden.‘ Das Axiom: ‚„„‚Wenn
zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie mindestens
noch einen anderen Punkt gemeinsam“‘‘, drückt sich aus durch die
Formel

(x) (9) (2) (w) (0) (@) (P){LE& (x, y, z, p) & Eb(u, v, w, p)] — (Eq) (= (, g)

& Eb(x, y, z, q) & Eb(u, v, w, q))}.

Dem für die Anordnung in der Ebene wesentlichen Axiom, ‚„‚wenn eine