8.10. Beispiele für die Anwendung des Funktionenkalküls. fa

gleich erkennen wir, daß auch umgekehrt von der Gültigkeit der Be-
hauptung auf die der Voraussetzung geschlossen werden kann.

Das zweite Beispiel für einen mathematischen Schluß soll darin
bestehen, daß wir den Satz von der Tramnsitivität der Beziehung des
Kleineren zum Größeren beweisen. Dieser Satz, dessen Darstellung durch
die Formel

ME<

uns bereits bekannt ist, wollen wir hier im Sinne der Größenlehre auf-
fassen. Wir denken uns die Leerstellen der Funktion <(x, y) auf eine
__ bestimmte Größenart (z. B. Streckenlängen oder positive Maßzahlen)
bezogen, und betrachten ferner die Relation <(x, y) als abgeleitet aus
der Addition der Größen. Wir führen das Zeichen D(x, y,z) für das
dreigliedrige Prädikat ‚x um Y vermehrt gibt z“ (oder arithmetisch
geschrieben: X s z‘‘) ein. Mit Hilfe dieses Prädikats läßt sich
<(x, y) definieren durch
(Eu) D (x, u, y)-

(„Es gibt ein , welches zu %x hinzugefügt y ergibt.‘‘)
Setzen wir diese Definition in unsere Behauptung ein, so nimmt
diese folgende Gestalt an:
[(Eu)Dl(x, u, y) & (Eu) Dly, u, z) ] — (Eu)P(x, u, 2).

In dieser Form läßt sich der betrachtete Satz beweisen, sofern für
die Addition der Größen folgende zwei Voraussetzungen zugrunde gelegt
werden :

1. ‚„Zwei Größen lassen sich stets addieren,‘ d. h.

(Ez)D(x, y, 2).
2 \ Für.die Größenaddition gilt das assoziative Gesetz‘“
OS E,
P (y+z2)= (x%x + »)
[D(x, y, u) & D(y, z, v) & D(u, Z, w)] > D(x, v, w).

Die beiden Voraussetzungen sind in der Normalform mit An-
wendung von freien Variablen dargestellt. Bringen wir auch ‚ dierBe-
hauptung auf die Normalform, So nimmt sie die folgende Gestalt an:

(u) (v) (Ew)(B(x, u, y) v P(y, v, z) v D(x, w, A
Hierfür kann man auch schreiben:
(u) (v) (Ew)(D(x, u, y) & P(y, v, z) —> D(x, W, 2)).

Diese Formel läßt sich nun auf Grund unserer Voraussetzungen
folgendermaßen ableiten: