70 Der engere Funktionenkalkül.

Die hierin auftretenden Funktionen sind folgende: Zunächst die
Relation A (x, y): ‚x liegt auf y.‘“ Hier bezieht sich die erste Leerstelle
auf die Gattung der Punkte, die zweite auf die der Geraden. Ferner
kommt. vor das Prädikat der Verschiedenheit, also das Gegenteil des
Prädikates der Identität = (x, y). Die Leerstellen dieses Prädikates
können sich sowohl auf Punkte als auf Geraden beziehen; natürlich ist
die Behauptung der Identität eines Punktes mit einer Geraden stets
als falsch zu betrachten. Der Deutlichkeit halber wollen wir die Argu-
mente, welche sich auf die Gattung der Punkte beziehen, mit kleinen,
diejenigen, welche sich auf Geraden beziehen, mit großen lateinischen
Buchstaben bezeichnen!. Eigennamen von Individuen kommen nicht
vor. Der symbolische Ausdruck für die Voraussetzung ist:

(x) (9) {=(x, ») > (EG) (EH) [S(G, H) & A(x, C) & A(x, H)
& 4’1 (1V, G) & 11 (y‚ H)]}.
Die Behauptung schreibt sich:
(G) (H) { (G, H) — (E%) (Ey) [=(x, y) & A(x, C) & Alx, H)
& A(y;G) & A(y, H)]}}-
Schreiben wir zur Abkürzung für:
A(x, G) & A(y,G) & A(x, H) & Aly, H) : A(x, y, G, H),

und machen wir von der Definition des Zeichens — Gebrauch, so er-
halten wir als Darstellung für die Voraussetzung und Behauptung:

(x) (9) { (%, y) v (EG) (EH) [=(G, H) & A(x, y, G, H)]}
bzw. (G)(H){f= (G, H) v (Ex) (Ey) [=(x, y) & A(x, y, G, H)]}.
Nach der in $ 8 gegebenen Regel über die Bildung des Gegenteils
eines Ausdrucks kann man die beiden Ausdrücke umformen zu
(%) E (%, y) v (G) (H) [=(G, H) v Alx, y, G, H)},
(G) (M) E (G, H) v (x) (y) [=(x, y) v A(x, y, G, H)}-
Beide Ausdrücke bringen wir nun auf die Normalform und erhalten:
(x) (9) (G) (H) E (x, y) v (=(G, H) v A(x, y, G, H))},
(G) (H) (%) (9) E (G, H) v (=(x, y) v Alx, v, G, H))}-
Aus diesen Darstellungen ersieht man ohne weiteres, daß die
Behauptung sich aus der Voraussetzung ableiten 1äßt. Die Formel für
die Voraussetzung geht nämlich in die Formel für die Behauptung

über, wenn man auf die Produkte das assoziative und das kommutative
Gesetz, und auf die Allzeichen die Vertauschungsregel anwendet. Zu-

1 Eine Verwechslung mit Aussagevariablen kann hier nicht entstehen.