8 10. Beispiele für die Anwendung des Funktionenkalküls. 69

aufgeschrieben und als richtige Formeln zu den logischen Grundformeln
a) bis f) hinzugefügt werden, mit denen zusammen sie die Ausgangs-
formeln für die gemäß den Grundregeln «), ß), 7) zu vollziehenden for-
malen Operationen bilden Ehe man an die symbolische Formulierung
der Voraussetzungen geht, müssen zuerst die individuellen Zeichen ein-
geführt werden, und bei den bestimmten Funktionen sind die Gegen-
standsgattungen anzugeben, auf welche sich ihre Leerstellen beziehen.
Der Beweis ist geliefert, wenn die symbolische Darstellung der zu be-
weisenden Behauptung sich als richtige Formel ergibt.

Als erstes Beispiel möge ein Schluß dienen, in welchem ein singuläres
. Urteil als Prämisse auftritt. Ein Schluß dieser Art liegt vor bei dem
bekannten Schulbeispiel:

‚„Alle Menschen sind sterblich, Cajus ist ein Mensch, also ist Cajus
sterblich.““

In diesem Satz kommen drei individuelle Bezeichnungen vor. Den
Worten „Mensch‘ und ‚sterblich‘“ entsprechen zwei Prädikate Ms(x)
und St(x) *, für welche als gemeinsame zugehörige Gegenstandsgattung
die der Lebewesen betrachtet werden kann. Das dritte individuelle
Zeichen ist der Eigenname „Cajus‘“. Die beiden Prämissen lauten als
Formeln geschrieben:

(x)(Ms(x) — St(x)),
MS s (Cajus) .
Durch Einsetzung in die Formel
(x) F (%) — F(y)
erhält man:
(x)(Ms(x) —> Stx)) > (Ms(y) > St(y))
und weiter:
(x)(Ms(x) —> St(x)) — (Ms(Cajus) —> St(Cajus)),
Ms(Cajus) — St(Cajus) [Regel 8)],
St(Cajus) [Regel ß)].

Die letzte Formel ist aber die symbolische Darstellung unseres Schluß-
satzes „Cajus ist sterblich“.

Es sollen noch zwei Beispiele von mathematischen Schlußfolge-
rungen gegeben werden. Zunächst behandeln wir den folgenden geo-
metrischen Schluß:

Voraussetzung: ‚„„Durch zwei verschiedene Punkte geht höchstens eine
Gerade.‘“

Behauptung: ‚„Zwei verschiedene Gerade haben mnicht mehr als einen
Punkt gemeinsam.‘‘

1 Wir wählen hier als Bezeichnung für die individuellen Funktionen zwei
Buchstaben zur deutlichen Unterscheidung von den Funktions-Variablen.