$ 9. Die Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit des Axiomensystems. 67

Wir behaupten nun, jede aus den Axiomen ableitbare Formel geht
nach dieser Umformung in eine immer richtige Aussagenverbindung über.

Wir zeigen das zunächst für die Axiome. Für die Axiome a) bis d)
ist es klar, da diese von der Umformung unberührt bleiben. Das Axiom
(x) F(x) — F(y) wird in folgender Weise umgeformt :

(y) ((x) F(%) — F(y)),
((%)F(x) — F(1)) & ((x) F(x) —> F (2)),
(F(1) & F(2) > F(1)) & (F(1) & F(2) — F(2)),
MB + AyY&A&CE—B],

Das letzte ist tatsächlich eine richtige Aussagenverbindung.

Analog hat man für das Axiom

F(y) — (Ex) F(x)

(F (Y)*(E%)F(x))
(F(1) — (Ex)F(x)) & (F(2) —
(Z) FA EG ( ) (
(4—> 24 vB)@& (B 4 vB),;

die ebenfalls zu einer immer richtigen Formel führen. Wir brauchen

nun nur noch zu zeigen, daß die Anwendung der Regeln @, ß, y diese
Eigenschaft ungeändert läßt.

Für die Regel x) folgt das aus der Gültigkeit der Einsetzung im

Aussagenkalkül. Für ß) ergibt sich die Richtigkeit daraus, daß das

Schlußschema im Aussagenkalkül richtige Formeln liefert. Enthielt das

Schlußschema noch freie Gegenstandsvariablen, so kann es allerdings
nach Vorsetzen der Allzeichen seine Form verlieren. Z.B. wird aus

A (x)
L() —> B (x)
B)
(x) 2 (x)
(%) ( (%) — B (%))
(x) B &)
Bei der Auflösung der Allzeichen erhält man dann
A (1) & A (2)
( (1) — B(1)) & (A2) — B (2))
B(1) &B (2) ;

Aber auch dieses Schema entspricht den Regeln des Aussagenkalküls.
Entsprechend ist es, falls mehrere freie Gegenstandsvariable auftreten.

5*

die Umformungen:

[\)\_/
W E

),

das neue Schema