66 Der engere Funktionenkalkül.

Schwierigkeit mit der von uns behandelten Frage gar nicht vergleichen.
Die mathematischen Axiome setzen gerade einen unendlichen Indi-
viduenbereich voraus, und mit dem Begriff des Unendlichen sind die
Schwierigkeiten und Paradoxien verknüpft, die bei der Diskussion
über die‘ Grundlagen der Mathematik eine Rolle spielen. Um das
letztgenannte Problem mit Erfolg angreifen zu können, hat D. Hilbert
sich veranlaßt gesehen, eine besondere Theorie aufzustellen. Ein Ein-
gehen auf diese Theorie, die natürlich die Ergebnisse der mathematischen
Logik benutzt, ist im Rahmen dieses Buches nicht möglich. Auf die
Anregungen, die die Symbolik der Logik dadurch erfahren hat, ist an
einigen Stellen kurz eingegangen.

Kehren wir nun zurück zu unserem Axiomensystem. Der Ge-
dankengang des Beweises der Widerspruchsfreiheit führt uns auch zur
Entscheidung über die Frage, ob das Axiomensystem die V ollständig-
keit in dem schärferen Sinne besitzt. Diese Vollständigkeit ist nicht vor-
handen. Um die Unvollständigkeit des Axiomensystems festzustellen,
brauchen wir nur eine Formel zu finden, welche gemäß der obigen
arithmetischen Deutung identisch gleich 0, aber nicht eine Konsequenz
der Axiome ist. Eine solche Formel ist

(Ex)F(x) > (x)F(x).

Daß diese Formel nicht aus den Axiomen folgt, kann man sich schon
dadurch plausibel machen, daß die Behauptung, welche sie darstellt :
‚„Wenn es ein x gibt, für das F(x) besteht, so gilt F(x) für alle x‘“, gewiß
nicht allgemein richtig ist.

Der streng formale Beweis für die Unmöglichkeit, die Formel aus
den Axiomen abzuleiten, geschieht in folgender Weise!:

Wir geben zunächst ein Verfahren an, durch das wir die logischen For-
meln in solche umwandeln, die nur Aussagenvariable enthalten. Zuerst
schaffen wir die in einer Formel auftretenden freien Variablen fort,
indem wir die zu den freien Variablen gehörigen Allgemeinheitszeichen
vor die Formel setzen. Dann schaffen wir die Klammerzeichen fort,
indem wir, etwa von außen anfangend, immer

(x) A(x) durch A(1) & A(2),
RE (Ex)(x) durch X(1) v A (2)

In unseren Formeln kommen nun neben Aussagenvariablen Aus-
sagen von‘der - Föhm F(1), F (2), G(1, 2); ; .. VOr;

Alle diese verschiedenen Aussagen ersetzen wir dann noch durch
(verschiedene) Aussagenvariable.

1 Der Beweis ist von W. Ackermann gegeben worden.
2 14 und 2 sind hier Eigennamen von Gegenständen. Unsere Auflösung der
Klammerzeichen kommt also inhaltlich darauf hinaus, daß wir annehmen, der

Individuenbereich enthalte nur die beiden Elemente 1 und 2.