64 Der engere Funktionenkalkül.

Wir ersetzen zunächst in dem zu betrachtenden Ausdruck die Ab-
kürzungen —> und > durch ihre‘ Bedeutung. Durch mehrfache An-
wendung der Regel XI des vorigen Paragraphen kann man dann leicht
erreichen, daß die Negationsstriche nur über den Aussagen- und Funk-
tionsvariablen zu stehen kommen. Wir ändern nun die Bezeichnung der
Variablen so ab, daß alle Klammerzeichen zu verschiedenen Variablen
gehören, und keine freie Variable mit einer gebundenen Variablen
gleichbenannt ist!. Statt

(x) F(x) & F(x)

(%x) F(x) & F(y);

schreibt man also

statt
(x)F(x) v (x)G(x):

(x) F(%) v (y)G(»)
USW.

Aus dem so entstehenden logischen Ausdruck erhält man nun die
Normalform, indem man sämtliche Klammerzeichen in der Reihen-
folge, wie sie auftreten, an den Anfang der Formel stellt und im übrigen
alles ungeändert läßt. Die Wirkungsbereiche sämtlicher Klammer-
zeichen sollen sich dann bis zum Ende der Formel erstrecken.

Daß die letzte Umformung wirklich zulässig ist, ergibt sich auf
folgende Weise. Es sei die Richtigkeit der Umformung schon gezeigt,
falls der betrachtete Ausdruck weniger Klammerzeichen enthält. Wenn
kein Klammerzeichen vorkommt,. so sagt die Behauptung nichts Be-
sonderes aus. Steht nun der ganze Ausdruck unter einem Klammer-
zeichen, so ist die Behauptung klar. Wir brauchen dann nur für den
Wirkungsbereich dieses Klammerzeichens, der selbst weniger Klam-
merzeichen enthält, die Umformung zu machen. Andernfalls nehmen
wir das erste Klammerzeichen unseres Ausdrucks, Dieses steht selbst
nicht wieder im Wirkungsbereich eines anderen Klammerzeichens.
Unter Anwendung der abgeleiteten Formeln:

Av<%()( x)(4 v F(x)),

()( (x)(F(x) v 4),
& (x) )M& (x)),
()( (x)(F(x) & 4)

bzw. der entsprechenden Formeln für das Seinszeichen kann nun er-
reicht werden, daß dieses Klammerzeichen an den Anfang der Formel

1 Daß die Umbenennung der Variablen gestattet ist, kann ebenfalls streng
formal gezeigt werden. Z. B. leitet man aus (x) Y (x) die Formel (y) A (y) in folgen-
der Weise ab: (x)Y(x) — Y(y); daraus nach Regel ß A(y) und nach Regel y
(y) A (9)-