$ 8. Das erweiterte: Dualitätsprinzip; Normalform für logische Formeln. 63 Beweis: Ist X— B eine richtige Formel, so ist auch B —> A eine richtige Formel, und mit X —>V ist auch 4 — B eine richtige Formel. Man formt nun X und 3 nach dem Satz 2 des vorigen Paragraphen um, Man wechselt also die Allgemeinheits- und Existentialzeichen sowie die Zeichen & und v gegeneinander um und ersetzt die Aussagen- und Funktionszeichen durch ihre Negationen. Da es sich aber um eine logische Formel handelt, in der keine individuellen Zeichen vorkommen, so kann die letzte Ersetzung wieder rückgängig gemacht werden, in- dem man gemäß der Ersetzungsregel sämtliche Aussagen- und Funk- tionsvariablen durch ihr Gegenteil ersetzt. Das erweiterte Dualitätsprinzip liefert uns mit einem Schlage eine ‘ . große Anzahl von logischen Formeln durch die duale Umformung von früher abgeleiteten Formeln. Die wichtigsten seien hier hervorgehoben‘. Formel (26'): (Ex)(A & F(x)) > 4 & (Ex) F(x). Formel (28'): (Ex)(A v F(x)) > A v (Ex)F(x). Formel (29'): ( x) (Ey) F(x, y) > (Ey) (Ex)F(x, y)- Formel. (30'): (Ex)(F(x) v G(x)) > (x) v (Ex)G(x). Die Formeln (29) und (29’) liefern uns in Verbindung mit der Regel X eine weitere Regel. Regel XII: Ein logischer Ausdruck geht in einen äquivalenten über, wenn darin zwei oder mehrere unmittelbar aufeinanderfolgende Allzeichen, die denselben Wirkumngsbereich haben, beliebig umgeordnet werden. Die entsprechende Regel gilt für die Seinszeichen. Bei der Behandlung des Aussagenkalküls zeigte es sich, daß es _möglich ist, alle Aussagenverbindungen auf eine gemeinsame Normal- form zu bringen. Wir konnten die Aussagenverbindungen entweder als Summe von einfachen Produkten oder als Produkt von elementaren Summen darstellen. Eine gewisse Normalform gibt es nun auch im Funktionskalkül. Es kann nämlich jeder Ausdruck durch einen solchen ersetzt werden, in welchem alle vorkommenden Klammerzeichen unverneint am Anfang stehen, und zwar ohne durch Klammern getrennt zu sein, so daß sich ihre Wirkungsbereiche alle bis zum Ende der Formel erstrecken?, Der Vorteil dieser Normaldarstellung beruht darauf, daß der hinter den Klammerzeichen stehende Ausdruck ganz wie eine Aussagen- verbindung behandelt werden kann. Die Umformung zur Normalform geschleht in der folgenden Weise: 1 Durch die Bezeichnung der Formeln soll kenntlich gemacht werden, aus welcher der schon bewiesenen logischen Formeln die betreffende Formel gemäß dem Dualitätsprinzip hervorgeht. 2 Diese Art der Darstellung ist ebenso wie beim Aussagenkalkül keineswegs eindeutig.