62 Der_ engere Funktionenkalkül.

wird. Stand der Gesamtausdruck unter einem Klammerzeichen, so ist
das von vornherein der Fall. Ist nun A(x) ein von x abhängiger Aus-
druck, so ergibt sich aus den Formeln (33), daß

(x) 2 (x) > (Ex) A (x),
(Ex) A (x) > (x) A (x).
Unter Benutzung dieser Äquivalenzen können wir die Negation. von
den Klammerzeichen auf ihre Wirkungsbereiche verschieben. Mit diesen
Wirkungsbereichen verfährt man dann auf dieselbe Weise wie mit dem
Gesamtausdruck, bis man schließlich überall bei den Aussage- oder
Funktionszeichen anlangt.

Die beschriebene Methode der Umformung möge an einem Bei-
spiel erläutert werden: Es handle sich darum, für

(x) (Ey)(F(x, v) v (E2)G(x, y, 2))
die dem Satz entsprechende Darstellung abzuleiten. Aus den Formeln (33)
folgt zunächst, daß

(x) (E%)(F(x, y) v (E2)G(x, y, z)) > (Ex)(Ey)(F(x, y) v (Ez)G(x, », 2)),

und weiter ergibt sich als äquivalenter Ausdruck
(Ex) (9) F(%, y) v (E2)G(x, y, z).

Unter Anwendung des Spezialfalls unseres Satzes für den Aus-
sagenkalkül und Regel X erhält man:

(Ex) (y)(F(x, y) & (Ez)G(x, y, z))
und endlich :
(Ex) (y)(F(x, y) & (2)G(x, y, 2)).

Das letzte ist genäu die unserer Regel entsprechende Darstellung.

$ 8. Das erweiterte Dualitätsprinzip; Normalform für
logische Formeln.

Aus der Regel XI des vorigen Paragraphen läßt sich ein Dualitäts-
prinzip ableiten, das wir als eine Erweiterung des früher für den Aus-
sagenkalkül abgeleiteten Dualitätsprinzips auffassen können. Dieses
lautet folgendermaßen:

Aus einer logischen Formel, die die Form einer F olgebeziehung oder
einer Gleichung hat, in deren Gliedern die Zeichen > und. < wicht vorkommen,
entsteht wieder eine logische Formel, wenn man überall die A Uzeichen durch
gleichnamige Seinszeichen ersetzt und umgekehrt und außerdem die Zeichen
& und v gegeneinander auswechselt. Im Falle der Folgebeziehung hat man
außerdem noch die Reihenfolge.der beiden Glieder zu vertauschen.