$ 7. Die Ersetzungsregel; Bildung des Gegenteils eines Ausdrucks. 61

Als erste Regel haben wir eine Erweiterung der Regel VI. Diese
besagte, daß Aussagen, die in gegenseitiger Folgebeziehung stehen, die
also äquivalent sind, füreinander eingesetzt werden dürfen. Wir er-
weitern diese Ersetzungsregel in der, folgenden Weise:

Regel X: Es möge A(%x, y, ... u) irgendeinen logischen Ausdruck

bedeuten, der von den Variablen %, Y,...4 abhängt. UA(x, y‚ ... W)

— Blx, y, ... u) sei eine beweisbare Formel. Es kann dann X(x, y, . - + U)

in einer logischen Formel durch Z(x, Y. . . - u) ersetzt werden, auch wenn
die Variablen x, y,...u innerhalb dieser Formel. gebunden sind.

Da wir die Regel VI schon haben, so genügt es, zu zeigen, daß

‚ man auf beiden Seiten der Äquivalenz U(x, y,...4) M

vor A(x, y,...u) und B(x, Y .. - u) die gleichen Klammerzeichen vor-

setzen darf, daß man z. B. schreiben darf
(Ex) (y) Q (x, y, ... u) > (Ex) (y)B(x, Yı U)-
Es genügt, dies für ein Klammerzeichen zu zeigen. Wir zeigen also, daß
(x) A (x, y‚ .. U) S (X) B, Y - 7

u (Ex)l(x, y, - .. u) > (Ex)B(x, y - )

beweisbar sind.
Aus Al(x, y,...u) > D(x, Yıss s u) erhält man nach der Regel y':

(x) (Alx, yı ... u) SEB, Yı L,
Unter Benutzung von Formel (32) ergibt sich dann

(x) A (x, yı ... M) > (x)B(X, Yı sı u),
und ebenso auf Grund der Formel (34):

( u S (E%) D (X%,. 53 WU)-

Als weiteres Ergebnis schließt sich hieran eine Regel über die
Bildung des Gegenteils eines Ausdrucks.

Regel XI: Von einem Ausdruck, in welchem die Abkürzungen —
und < nicht vorkommen, bildet man das Gegenteil, indem man erstens
die Allzeichen durch Existentialzeichen ersetzt und umgekehrt, zweitens
die Zeichen & und v miteinander vertauscht und drittens die Aussage-
und Funktionszeichen gegen ihre Verneinungen austauscht,

Der Beweis dieses Satzes verläuft folgendermaßen:

Falls der betreffende Ausdruck keine All- und Seinszeichen ent-
hält, so hatten wir den Satz bereits früher im Aussagenkalkül be-
wiesen. Indem wir nun von diesem Satz Gebrauch machen und die
Kombination von Allzeichen und ihrem Wirkungsbereich als unge-
trenntes Ganzes auffassen, können wir stets erreichen, daß die Negation
von dem Gesamtausdruck auf die äußersten Klammerzeichen verlegt