$ 6. Das System der logischen Formeln, 59

F(x) —> (Ex) F(x) [Einsetzung in Axiom f)],

(Ex) F(x) —& F(x) [nach Formel (6)],

(Ex)F(x) — (x) F(x) [Regel 7)],

(x) F(x) — (Bx)F (x) [nach Formel (6)],

(x) F(x) — (Ex)F(x) [Ersetzung von (Ex) F(x) durch (Ex)F(x)]-

Das ist die andere Hälfte von (33a).

Beweis von (33b): A —> X

F(x) > F(x) (durch Einsetzung),
(x)(F(x) > F(x)) [Regel 7’)].

Unter Benutzung von Formel (32) erhält man daraus:

A

(x) F(x) > (x)Z'(%),

(x) F(x) > (x) F(x) [unter Benutzung von (X > Y) —> (X > Y),
[vgl. Formel (16), S. 7].
Durch Einsetzung in (33a) ergibt sich

(Ex)F(x) > (x) F(@),
also (x)F(x) > (Ex) F(%).
Das ist die Formel (33 b).

Aus (33a) und (33 b) erhält man auch die Formeln (33 d) und (33c),
da aus A.—> B sich U —B beweisen 1äßt.

Formel (34):
(x)(F(x) —> G(x)) > ((Ex)F(x) > (Ex)G(%)).
Beweis: Aus der Aussagenformel
(4 —+ B) —+ (B — A)
erhält man durch Einsetzung
(F(x) > G(x)) > (G(%) > F(x)),
(xH{(F(x) > G(x)) — (G(x) > F(x))} [nach Regel 7’)].
Aus der letzten Formel erhält man unter Benutzung der Formel (31)
(x){E(x) > G(4)} > (M{E) > FO)-

Unter abermaliger Benutzung der Formel (31) und der Regel V erhält
man daraus:

(x)(F(x) > G(x)) — ((4)G(%) > (0)F(%)).

In dieser Formel kann (x)G(x) — (x)F(x) unter Benutzung von For-