58 Der engere Funktionenkalkül.
Formel (31): (x)(F(x) —> G(x)) —> ((x)F(x) —> (x)G(x)).
X)(F(%) — G(%)) — (F(x) — G(x)),

Beweis: ( )
F(x) »( x)(F(x) —> G(x)) —> G(r)) (nach Regel VII),

(x) F(x) — F(x) [Ä*<10m e}l

(2) F(2) — ((%)(F(x) > G(x)) > G(x)) (Regel V),
(x)F(x) & (x>(F< G(x)) > G(x) Regel VII),
(x)F(x) & (x)(F(x) — G(x)) —> (x)G(x) [Regel 7)],
(x)(F(x) > G(x))

G(x)) — ((x) F(x) — (x)G(x)) (Regel VII)
Formel (32): (x)(F(x) &> G(x)) > ((x)F(x) > (x)G(x)).
Beweis: (x)(F(x) & G(x)) ist eine Abkürzung für
(X)L(F(x) — G(x)) & (G(x) > F(x))].
Durch Einsetzung in Formel (30) erhält man
(AL(F(2) > G(x)) & (G(x) > F(x))] > (x)(F(x) —> G(x)) & (x)(G(x) > F(x)).
Nach Formel (31) ist
(X)(F(x) — G(x)) —> ((4)F(x) —> (x)G(x)),
(2)(G(x) —> F(x)) —> ( (x)G(a) > (x)F(x)).
Wir haben also drei Formeln von der Form:
NDB &C,
S> (DEG,
C —> (€—>9).

Daraus läßt sich —> (D-— C€) ableiten. Das ist aber unsere Behauptung,
wenn wir für A, D, € ihre Bedeutungen einsetzen.
Formel (33) :

Beweis von (33a):
(X)F(x) — F(x),
F(%x) — (x) F(x) [nach Formel (6)],
F(x) > ( F(x) [
(Ex)F(x) > (x) F(x) [nach Regel y)].
Das ist‘ die Formel (33a) zur Hälfte,

[Ersetzung von F(x) durch F(x)],