56 Der engere Funktionenkalkül.

Dies ist eine Erweiterung der Regel #) r aStatt:2 Voraussetzungen
kann man auch eine beliebige andere endliche Anzahl von Voraus-
setzungen nehmen. Der Beweis ist dann ganz entsprechend wie im vor-
liegenden Fall.

Beweis: X —> (B —> C(x)),
U —> (x)(% z& @:(x)) [Regcl }’)1

Daraus ergibt sich die gesuchte Formel durch Anwendung von (24)
und Regel V.

Formel (25): A — (x)(A v F(x)).

Beweis: A—> Av B [Axiom (b)],
A—>AvF(x) (durch Einsetzung),
A —> (%x)(4 v F(x)) [nach Regel y)].

Formel (26): (x)(A v F(x)) > 4 v (x) E(x).

(
Beweis: Da (23) bewiesen ist, so genügt es, die Richtigkeit der
Umkehrung: A v (x) F(x) —> (x)(4 v F(x)) zu zeigen.

(2)F(x) > F(x)
A v (x)F(x) — A v F(x) (nach Regel IV),
1 v (x)F(x) —> (x)(4 v F(x)) [nach Regel 7)].
Formel (27): (x)(A —> F(x)) > (4 —> (x) E(x)).

Beweis: Diese Formel geht in derselben Weise aus (26) hervor,
wie (24) aus (23).

Formel (28): (x)(A & F(x)) < A & (2)F(X):
Beweis: Wir beweisen zunächst:
I, (x)(4 & F(x)) > 4 & (XZ).
(x)(4 & F(x)) — A & E(x),
A & F(x) — F(x) [Formel (13)],
(x)(4 & F(x)) > F(x) (Regel V),
(2)(4 & F(x)) > (x)Z(x) [Regel 7)],
A& E(X) — A,
(x)(4 & F(x)) — 4 [Regel V].
Durch Benutzung der Aussagenformel
(X —> Y)>((X—>Z) —> (X —> Y &Z))

und zweimalige Anwendung des Schlußschemas erhält man dann aus
der letzten und vorvorletzten Formel die Formel I.