54 Der engere Funktionenkalkül.

Alle Einsetzungsregeln gelten nur für freie Variablen und sind mit
der Einschränkung zu verstehen, daß für eine Variable, die im Wir-
kungsbereich eines Klammerzeichens steht, kein Ausdruck eingesetzt
wird, der die zu dem Klammerzeichen gehörige Variable enthält. Eine
freie Individuenvariable, die im Wirkungsbereich eines Klammer-
zeichens vorkommt, darf nach der Einsetzung nicht mit der Klammer-
varilablen identisch werden.

ß) Schlußschema:

Sind X und X —>V rvichtige Formeln, so ist auch B eine richtige Formel.

y) Schema für ‚,alle‘“ und ‚,es gibt‘‘: ;

Sei B(x) ein beliebiger logischer Ausdruck, der von x abhängt, X ein
solcher, der von x unabhängig ist. Ist dann X — V (x) eine richtige For-
mel, so gilt dasselbe für X-—>(x)B(x). Ebenso gewinnt man aus einer
vichtigen Formel B (x) > M die neue (Ex)B (x) —> .

Die Ableitung von Formeln aus den Axiomen hat streng formal
zu geschehen, derart, daß wir uns um den Sinn der durch die Formeln
dargestellten Aussagen gar nicht zu kümmern brauchen, sondern lediglich
die in den Regeln enthaltenen Vorschriften zu beachten haben. Nur
bei der symbolischen Darstellung der Prämissen sowie bei der Inter-
pretation der durch die formalen Operationen erhaltenen Ergebnisse
müssen wir die Bedeutung der Zeichen unseres Kalküls berücksichtigen.
| Diese Deutung geschieht in der bisherigen Weise. Das Auftreten
von Aussagen-, Funktions- und (/reien) Gegenstandsvariablen in einer
Formel ist so zu verstehen, daß bei jeder beliebigen Einsetzung von be-
stimmten Aussagen, Gegenständen und Funktionen die aus der Formel
entstehende Behauptung richtig ist. Selbstverständlich dürfen dabei die
bestimmten Gegenstände und Funktionen nur aus dem Definitions-
bereich der zugehörigen Variablen genommen werden.

Das hier benutzte besonders einfache Axiomensystem für ‚„alle“‘
und „es gibt‘“, das in den Formeln e) und f) sowie der Regel y) zum
Ausdruck kommt, ist von P. Bernays angegeben worden.

$ 6. Das System der logischen Formeln.

Unter den Formeln, die sich mit Hilfe des Funktionenkalküls be-
weisen lassen, nehmen diejenigen eine ausgezeichnete Stellung ein, die
keine individuellen Zeichen enthalten, und bei deren Ableitung außer
den logischen Grundformeln keine weiteren Formeln als Voraussetzung
zugrunde gelegt werden. Diese Formeln wollen wir kurz als „logische
Formeln‘‘ bezeichnen.

Mit‘ einem Teilsystem der logischen Formeln sind wir schon be-
kannt, nämlich demjenigen, in dem nur Aussagenvariable vorkommen.
Wir hatten für dieses Teilsystem früher die Formeln (1) bis (20) und
die Regeln I—VIII abgeleitet. Wir bezeichnen dieses Teilsystem als
das System der logischen Aussagenformeln.