$ 5. Die Axiome des Funktionenkalküls. 53 -

&, & vor den All- und Seinszeichen den Vorrang haben. Wenn mehrere
Klammerzeichen unmittelbar aufeinanderfolgen, ohne durch eine Klam-
mer getrennt zu sein, so ist das stets so aufzufassen, daß sichihre Wirkungs-
bereiche bis zu der gleichen Stelle erstrecken.

8& 5. Die Axiome des Funktionenkalküls.

Wir gehen jetzt dazu über, für den Funktionenkalkül ähnlich wie
früher für den Aussagenkalkül ein System von Axiomen aufzustellen,
aus dem-sich die übrigen richtigen Beziehungen nach gewissen Regeln
ableiten lassen. Wir unterscheiden wie früher zwischen den eigentlichen
Axiomen, den logischen Grundformeln, und den Grundregeln zur Ableitung
neuer Formeln aus den schon bewiesenen.

Als logische Grundformeln treten zunächst wieder die Axiome des
Aussagenkalküls auf, die wir in derselben Form wie früher geben:

A

BL

\A E
XT VXAZVN):

Dazu kommen jetzt als zweite Gruppe zwei formale Axiome für
„alle‘‘, und ‚„‚es gibt‘ hinzu:

e) (x)F(x) — F(y)-

f) F(y) — (Ex)F(%).

Das erste-dieser Axiome bedeutet : „‚Wenn ein Prädikat F auf alle x
zutrifft, so trifft es auch auf ein beliebiges y zu.‘

Die zweite Formel liest sich so: „,‚Wenn das Prädikat F auf irgend-
ein y zutrifft, so gibt es ein x, auf das F zutrifft.“

Die logischen Grundformeln a)—f) werden als richtige Formeln
angenommen. Ferner können wir noch andere Formeln als richtig vor-
aussetzen, welche entweder die Axiome einer Theorie oder sonstige
als gültig angenommene Aussagen symbolisch darstellen, Auf diese zu-
grunde gelegten Ausgangsformeln wenden wir nun die folgenden
Regeln an:

x) Einsetzungsregel:

Für eine Aussagenvariable darf überall, wo sie vorkommt, ein und
derselbe logische Ausdruck eingesetzt werden, für eine Funktionsvariable
mit den Argumenten x,y,...u ein von den Variablen x, y,...w (und
eventuell noch weiteren Variablen) abhängiger Ausdruck.

Eine Individuenvariable kann durch eine anders benannte V ariable
derselben Art oder durch einen Eigennamen aus dem Bereiche der Va-
riablen ersetzt werden,