Der engere Funktionenkalkül.

R
N

Entsprechend haben wir an Individualzeichen:

a) solche für bestimmte Aussagen (etwa eine Bezeichnung für den
pythagoreischen Lehrsatz oder auch für eine singuläre Behauptung wie
„Sokrates war ein Philosoph‘‘);

b) Zeichen für bestimmte Individuen (Eigennamen);

c) für bestöimmte Funktionen (z. B. <(,)).

Jede (auf sinnvolle Weise gebildete) Kombination der logischen
Zeichen heißt ein Ausdruck. Genauer definieren wir den Terminus
„Ausdruck‘‘ in der folgenden Weise:

1. Jedes Aussagezeichen ist ein Ausdruck.

2. Ein Funktionszeichen, bei dem jede Leerstelle entweder durch
eine Variable oder durch den Eigennamen eines Gegenstandes ausgefüllt
ist, heißt ein Ausdruck.

3. Ist M ein Ausdruck, so sind auch X und, falls in Y{ die freie
Variable x vorkommt, auch (x)% und (Ex)% Ausdrücke,

4. Sind X und 8 Ausdrücke, so sind auch NvB, N& B, A— B,
U —B Ausdrücke.

Jedoch erfährt die Bildung von Ausdrücken gemäß 1—4 noch eine
Einschränkung. Bezeichnen wir für einen Augenblick alle Zeichen-
kombinationen, die man nach 1—4 bilden kann, als ‚„‚Formeln“‘‘, so
gehört zu jedem in einer Formel vorkommenden All- oder Existential-
zeichen ein bestimmter Bestandteil der Formel, auf den es sich be-
zieht. Diesen wollen wir den „Wirkumngsbereich‘ des betreffenden
Zeichens nennen. So erstreckt sich z. B. in einer Formel vom Typus

(X)LF(x) — (Ey)G(x, y)]

der Wirkungsbereich des Zeichens (x) bis an das Ende der Formel,
während bei
(%)(F(x)) — (Ey)G (y)

der Wirkungsbereich des Zeichens (x) nur bis vor das Zeichen — geht.
Die letzte Bedingung lautet nun:

5. Bei einem Ausdruck sollen niemals zwei Wirkungsbereiche von
All- oder Seinszeichen, die zu ‚gleichbezeichneten Variablen gehören,
übereinandergreifen. So ist z. B. (x)(F(x)) — (Ex)G(x) ein Ausdruck,
nicht aber (x)(y)[F(x) — (E x)G(x, y)]. Für die Ausfüllung jeder Leer-
stelle eines Funktionszeichens kommen nur Individuen aus einem be-
stimmten Definitionsbereich in Betracht (vgl. S. 45). Unstatthaft ist
es, daß zwei Leerstellen, welche sich auf verschiedene Definitions-
bereiche beziehen, mit denselben Variablen ausgefüllt werden.

Ein Ausdruck heißt von einer Variablen x abhängig, wenn x in
dem Ausdruck vorkommt, ohne daß jedoch zu x ein Klammerzeichen (%x)
oder (Ex) gehört.

Zur Ersparung von Klammern treffen wir noch die folgenden Fest-
setzungen: Bei der Trennung von Ausdrücken sollen die Zeichen —, V,