$ 4. Genaue Festlegung der Bezeichnungen im Funktionenkalkül. 51

Durch Einsetzung ‚dieser Ausdrücke bringen wir die Behauptung auf
die Form:

(Ex) (Ey) K(y, x) —> (Ex) (Ey) K(x, y)
oder bei teilweiser Umbenennung der Variablen :

(Ey) (Ex) K(x, y) —> (Ex) (Ey) K(x, y).

Diese Formel ist eine unmittelbare Konsequenz des Satzes von der
Vertauschbarkeit- der Seinszeichen.

Die früher erwähnte Verschiedenheit von (Ex)(y)A4(x, y) und
(y) (Ex) A(x, y) 1äßt sich auch an dem Beispiel der gleichmäßigen und
gewöhnlichen Konvergenz illustrieren. Es handle sich um eine be-
stimmte Folge eindeutiger arithmetischer Funktionen /,(x), /(x),...,
die (wie wir der Einfachheit halber annehmen wollen) für alle reellen
Werte x definiert sind. Die Aussage, daß diese Funktionenfolge für
jeden Wert von x gegen 0 konvergiert, läßt sich in unserer Symbolik
so formulieren :

(%) (2) {<(0, z) > (Ey) (n) [<(y, #) > <(| A(%) |, 2)]}

(„für beliebiges x gibt es zu jedem z, das größer als 0 ist, ein y, so daß
für alle %, welche größer als y sind, die Ungleichung | /,(x) | < z erfüllt
ist‘“). Dabei beziehen sich die Variablen y und %” auf die ganzen
Zahlen als Gegenstandsgattung, während x, z auf die Gattung der
reellen Zahlen bezogen sind.

Für die Behauptung, daß die Funktionenfolge gleichmäßig für alle
Werte von x gegen 0 konvergiert, lautet der symbolische Ausdruck:

(2) {<(0, 2) > (Ey) (x) (#) [<(y, #) > <(| fa(%) |, 2)]}
(„für jedes z, das größer ist als 0, gibt es ein y, so daß für alle x und
für alle %, welche größer als y sind, die Ungleichung | / (x) | < z er-
füllt ist“).
Der Unterschied der beiden Behauptungen findet seinen Ausdruck
in der verschiedenen Stellung des Allzeichens (x).

 

$ 4. Genaue Festlegung der Bezeichnungen im
Funktionenkalkül.

Als Vorbereitung zu einer systematischen Behandlung des Funk-
tionenkalküls geben wir zunächst eine genaue Übersicht über die be-
nutzten Bezeichnungen.

Die in dem Funktionenkalkül auftretenden Zeichen sind teils
Zeichen für Variable, teils Individualzeichen. Die Zeichen für Variable
sind immer große oder kleine lateinische Buchstaben. Wir unterscheiden :

1. Aussagenvariable: X, Y,Z,...

2. Gegenstandsvariable (Individuenvariable): x, y, z

3. Funktionsvariable: F(),G(),...

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