50 Der engere Funktionenkalkül.

der ersten dieser Aussagen zu der zweiten durch eine Reihe von Folge-
beziehungen zu gelangen, deren jede durch den Kalkül begründet ist.
Dabei wenden wir das uns vom Aussagenkalkül her geläufige und
natürlich auch im Funktionenkalkül gültige Prinzip an, daß aus zwei
Aussagenbeziehungen X —> B und B —C stets auf U —> € geschlossen
werden kann.

Nun gilt zunächst im Funktionenkalkül, entsprechend der Aus-
sagenformel X & Y —> Y, für beliebige F und G die Beziehung :

(Ex)(F(x) & G(x)) —> (Ex)G(x).

Setzen wir für den Ausdruck (Eu)(Ev)K(u, v, x), der eine Funktion
von %x darstellt, zur Abkürzung N(x), so erhalten wir

S(x) äq M(x) & N(x).
Die obige Schlußweise ergibt dann:

(Ex) S(x) — (Ex) N(x),
oder beim Einsetzen des Ausdrucks für N(x):

(Ex)S(x) —> (Ex) (Eu) (Ev) K(u, v, x).

Nun gibt es einen allgemeinen Satz des Kalküls, nach dem lückenlos
aufeinanderfolgende Seinszeichen ihre Reihenfolge vertauschen dürfen.
Für zwei Seinszeichen hatten wir diesen Satz bereits erwähnt ; der
allgemeine Satz ergibt sich daraus durch wiederholte Anwendung.
Führen wir diese Vertauschung aus, so erhalten wir statt der letzten
Formel:

(Ex) S(x) > (Eu) (Ev) (Ex) K(u, v, x).

Das ist aber unsere Behauptung, nur daß die Variablen hinter dem
Zeichen — anders benannt sind.
Ein weiteres Beispiel bildet der Satz:

„Wenn es eine Wirkung gibt, gibt es eine Ursache.‘“

Wir stellen zunächst die Behauptung in der Form dar:
(Ex)W(x) —> (Ex) U(x).

W(x%) bedeutet: ‚x ist eine Wirkung“,und: U(x): ‚x ist eine Ursache.“
Nun zerlegen wir wieder die Prädikate U und W durch die Einführung
der Beziehung ‚x bringt y hervor‘“, für die wir das Zeichen Bix, Y)
wählen. Dabei ergeben sich für U(x) und W(x) die definierenden Aus-
drücke:

U(x) äq (Ey) K(x, 5)

und W(x) äq (Ey) K(y, x).