$3. Vorläufige Orientierung über den Gebrauch des Funktionenkalküls, 49

1. (x)(Ey){F(x, y) & (2)(F(x, z) > = (y, 2))},
d.h. „zu jedem x gibt es ein y, das auf x unmittelbar folgt, und das
einem jeden z, welches auf x unmittelbar folgt, gleich ist‘.

ZE(EX) A D
d.h. „es gibt kein x, auf welches 1 unmittelbar folgt“.

3. (x){= (x, 1) — (Ey)[F(y, x) & (2)(F(z, x) > = (y, I}

d. h. „zu jedem x, das von 1 verschieden ist, gibt es ein y, auf welches
x unmittelbar folgt und welches einem jeden z, auf das x unmittelbar
folgt, gleich ist‘“.

Wir wollen uns ferner über die Methode der Beweisführungen im
Funktionenkalkül an einigen einfachen Beispielen orientieren. Wir be-
ginnen mit jenem Satze, dessen Unbeweisbarkeit im Prädikatenkalkül
eine von den Tatsachen bildete, an denen wir uns die Unzulänglichkeit
jenes Kalküls klargemacht haben. Der Satz lautete:

„Wenn es einen Sohn gibt, so gibt es einen Vater.‘“ Der sym-
bolische Ausdruck dieser Behauptung im Funktionenkalkül lautet zu-
nächst:

(Ex)S(X) EDKFa
Dabei bedeutet. ‚S(x): ‚x it ein. Sohn‘“ , und V(x}: „* Ist ein / Vater.”
Ein Beweis dieses Satzes ist nur möglich, wenn wir die vorkommenden
Prädikate begrifflich zerlegen. Im Begriff des Sohnes ist einerseits das
Prädikat ‚„männlich‘““ und andrerseits die Beziehung des Kindes zu
den Eltern enthalten; im Begriff des Vaters die Beziehung zu Frau
und Kind.

Führen wir demgemäß für „x ist männlich‘“ das Zeichen M{(x)
ein und stellen wir die Beziehung „x und y sind die Eltern von z“
(oder genauer: „x und y als Mann und Frau haben z zum Kinde‘“‘)
durch das Symbol K(x, y, z) dar, so können wir S(x) definieren durch:

M(x) & (Eu)(Ev)K(u, v, x).

(„x ist ein Sohn‘ bedeutet: ‚„,x ist männlich, und es gibt ein u und v
derart, daß u als Mann und v als Frau die Eltern von x sind.‘‘)
Ebenso wird V(x) definiert durch:

(Ey)(Ez)K(x, y, 2).

(„x ist ein Vater‘“ bedeutet: „Es gibt ein y und ein z derart, daß x
und y als Mann und Frau die Eltern von z sind.“)

Setzen wir die erhaltenen Ausdrücke für S(x) und V(x) ein, so
nimmt die betrachtete Behauptung die Form an:

(Ex)[M(x) & (Eu)(Ev)K(u, v, x)] —& (Ex)(Ey)(Ez)K(x, y, 2).
Diese Formel stellt eine Folgebeziehung zwischen zwei Aussagen

dar, und für den Beweis, den wir suchen, kommt es darauf an, von

Hilbert-Ackermann, Grundzüge, 4