48 Der engere Funktionenkalkül.

(wenn die Variablen x, y sich auf die reellen Zahlen als Definitions-
bereich beziehen) einen vichtigen Satz dar, nämlich: „Cu jeder.Zahl .x
gibt es eine Zahl y derart, daß x kleiner ist als y“, d. h. „‚zu jeder Zahl
gibt es eine größere‘‘).

Vertauscht man aber hier die Stellung der Zeichen (x) und (Ey»),
so entsteht (Ey)(x) < (x, y), und das ist der Ausdruck eines falschen
Satzes, nämlich: „Es gibt eine Zahl y, welche größer ist als jede Zahl x.““
Durch die Vertauschung von (x) und (E y) kommt also eine ganz andere
Aussage zustande.

Das logische Verhältnis hierbei ist so, daß auf Grund der (später
abzuleitenden) Formel:

(Ey)(%)A(x, y) — (x)(Ey)4(x, y)

aus einem richtigen Satz von der Form (Ey)(x)4(x, y) auf (x)(Ey)4(x, y)
geschlossen werden kann, aber nicht umgekehrt.

$ 3. Vorläufige Orientierung über den Gebrauch des
Funktionenkalküls.

Ehe wir daran gehen, eine systematische Darstellung der Regeln
zu geben, die zur Handhabung des Kalküls notwendig sind, soll die
Behandlung einiger Beispiele dazu dienen, uns mit der Symbolik ver-
trauter zu machen.

Zunächst zeigen wir, wie die Axiome, durch welche die Grundeigen-
schaften der natürlichen Zahlenreihe formuliert werden, sich im Funk-
tionenkalkül symbolisch ausdrücken lassen. Diese Axiome lauten:

1. Zu jeder Zahl gibt es eine und nur eine nächstfolgende.

2. Es gibt keine Zahl, auf welche 1 unmittelbar folgt.

3. Zu jeder von 1 verschiedenen Zahl gibt es eine und nur eine un-
mittelbar vorangehende.

In diesen Sätzen kommen als individuelle Prädikate die Be-
ziehungen der unmittelbaren Aufeinanderfolge und die der Verschieden-
heit von Zahlen vor. Die Beziehung der Verschiedenheit tritt nicht
nur in der Verbindung ‚„von 1 verschieden“‘, sondern auch implizite
in dem Ausdruck ‚nur eine Zahl“ auf; denn daß es „nur eine‘ Zahl
von einer gewissen Beschaffenheit gibt, bedeutet, daß es nicht zwei
verschiedene solche Zahlen gibt. Die Verschiedenheit ist das Gegenteil
der arithmetischen Gleichheit.

Wir führen daher die Funktionen:

= (x, y) („x ist gleich y“‘)
E F(x, y) („y folgt unmittelbar auf #*)
ein und können mit diesen Bezeichnungen die genannten Axiome
folgendermaßen darstellen: