$ 2. Methodische Grundgedanken des Funktionenkalküls. 47

Auf Grund dieser inhaltlichen Beziehung läßt sich das Seinszeichen
durch das Allzeichen ersetzen und umgekehrt. Bei der Symbolik des
Funktionenkalküls könnten wir also mit drei Verknüpfungen aus-
kommen. Notwendig ist nur das Negationszeichen, ferner eines der
drei Symbole &, v, —, und dann noch eines von den beiden Zeichen
(x), (Ex%).

Bisher haben wir nur einzeln auftretende All- und Seinszeichen
betrachtet. Zu wesentlich. neuen logischen Gebilden werden wir ge-
führt, wenn wir jetzt berücksichtigen, daß die All- und Seinszeichen
kombiniert auftreten können. Diese Kombination . ist schon möglich,
falls wir nur Prädikate mit einer Leerstelle in Betracht ziehen; eine
besondere Rolle spielt sie bei den mehrgliedrigen Prädikaten. Bei
einem zweigliedrigen Prädikat A (x, y) z. B. haben wir die folgenden
einfachsten Formen der Zusammensetzung:

(x)(y) 4(x, y)
„für alle x und für alle y besteht die Beziehung A(x, y)“;
(Ex)(Ey) 4(%, y)
„es gibt ein x und ein y, für welche A(x, y) besteht“;
(x)(Ey) 4 (x, y)
„zu jedem x gibt es ein y, so daß A(x, y) besteht“;
(Ex)(y) A(x, y)
„es gibt ein x, welches zu jedem y in der Beziehung A(%, y) steht‘‘.
Um den Sinn der Zusammensetzung deutlicher zu machen, könnte
man hier jedesmal noch eine Klammer einfügen, also z. B. schreiben :

(X)L(y) A (x, y)]
e (x)[(E9) A (x, »I

Da aber auch ohnedies kein Anlaß zu einem Mißverständnis vor-
liegt, pflegt man die Klammer fortzulassen. — Läßt man Kombinationen
von drei und mehr Klammerzeichen zu, so hat man entsprechend eine
größere Mannigfaltigkeit für die Zusammensetzung der All- und Seins-
zeichen.

Aus der Bedeutung des Allzeichens geht hervor, daß in einem Aus-
druck (x)(y)Al(x, y) die beiden Allzeichen ohne Änderung des Sinns der
Aussage vertauscht werden können. Dasselbe gilt von den beiden Seins-
zeichen in einem Ausdruck

(Ex)(Ey)A(x, y) -
Dagegen ist bei (x)(Ey)A(x, y) die Reihenfolge der Zeichen (x), (Ey)
wesentlich.

Z. B. stellt der Ausdruck

(x)(Ey) < (x, y)