46 Der engere Funktionenkalkül. Variablen abhängt. Wie man nun in der Algebra Buchstabenformeln schreibt, welche besagen, daß für beliebige Zahlenwerte, die man an Stelle der Variablen einsetzt, die entstehende Zahlengleichung richtig ist, so können wir auch im Logikkalkül verfahren. Eine F ormel (<(%, y) & <(y, 2)) > <(x, z) bedeutet dann, daß für ein beliebiges Zahlentripel x, y, z, für das die Beziehungen <(x, y) und <(v z) bestehen, auch < (x,z) gültig ist. Wir haben damit bereits eine Darstellung für die allgemeinen Urteile gewonnen. Um aber die Allgemeinheit in Verbindt ng mit der Negation und den logischen Verknüpfungen &, v, — anwenden zu können, brauchen wir ein besonderes ‚„‚Allzeichen‘‘. Man würde sonst nicht wissen, ob P(x) bedeutet: ‚,Für alle x ist P(x) der Fall‘‘, oder: „ESs1st nicht richtig, daß für alle x die Aussage P{(Xx) -2ult, Diese Darstellung der allgemeinen Urteile soll in der Weise geschehen, daß wir die zu der betreffenden logischen Funktion gehörige Variable in Klammern vor das Funktionszeichen setzen (x) 4(x) bedeutet also: Für alle x gilt A(x). Die beiden eben zur Verwechslung Anlaß gebenden Urteile sind dann durch (x)P(x) und (x) P(x) unterschieden. Aus Sy mmetriegründen führen wir gleichzeitig zur Darstellung der partikulären Urteile ein besonderes „Seinszeichen‘ ein. (Ex)A4 (x) stellt das Urteil dar: „‚Es s gibt ein x, für das A (x) gilt.“ Für All- und Seinszeichen qcbrauchcn wir 'nu11 den gemeinsamen Namen ‚„Klammerzeichen‘‘. Die zu einem Allzeichen oder Seinszeichen gehörige Variable nennen wir „gebundene Variable‘‘, Sie spielt eine analoge Rolle wie die Inte- grationsvariable in der Mathematik; insbesondere ist die Benennung dieser Variablen gleichgültig. Zum Unterschied von den gebundenen Variablen nennen wir die anderen „freie Variable‘ Bezüglich der Schreibweise ist zu bemerken, daß eine Formel, vor der ein Allzeichen oder Seinszeichen steht, in Klammern zu setzen ist, falls sie eines der‘Zeichen &, v, — enthält und nicht schon durch einen Negationsstrich zusammenge al3t ist. Ferner treffen wir der Über- sichtlichkeit halber folgende Festsetzungen: Statt A(x) schreiben wir einfacher A(x), statt (x) A(x) schreiben wir einfacher (x) 4 (x), und statt (Ex)4(x) schreiben wir einfacher (Ex) A(x). Aus der Bedeutung des All- und des Seinszeichens ergeben sich die folgenden Äquivalenzen: (Ex’) ( )aq (X) 4(\) Al: