8& 2. Methodische Grundgedanken des Funktionenkalküls. 45 Primzahl‘“ bezeichnen. P (5) ist dann die Darstellung der Aussage: „5 ist eine Primzahl‘“. Ist M () die Bezeichnung für das Prädikat „Mensch sein‘, so bedeutet M (Cajus): „Cajus ist ein Mensch.‘“ Wird ferner die Beziehung des kleineren zum größeren durch das Funktions- zeichen mit zwei Leerstellen < (,‚) ausgedrückt, so ist < (2,3) die symbolische Darstellung der Aussage: ‚2 ist kleiner als 3.‘ Ebenso wird die Aussage „B liegt zwischen 4 und C“ durch Z(A, B, C) dargestellt. Alle mathematischen , Formeln stellen derartige Beziehungen zwischen zwei und mehr Größen dar. Z.B. entspricht der Formel: Xx + y = z ein dreigliedriges Prädikat S (x, y, z). Die Richtigkeit von S(x, y,z) besagt, daß x, y, z durch die Beziehung %x + y = z verbun- den sind!, Auf die in der neuen Weise dargestellten Aussagen lassen sich die Verknüpfungen des Aussagenkalküls anwenden. Z. B. wird das Gegen- teil der Aussage P(5) durch P(5) ausgedrückt. Die Formel (<@3).&Z6. ED stellt die Aussage dar: „Wenn 2 kleiner ist als 3 und 3 kleiner als 7, so .ist .2 .kleiner als7,“ Es fehlt uns noch ein symbolischer Ausdruck für die Allgemeinheit von Aussagen. Um einen solchen zu gewinnen, führen wir nach dem Vorbilde der Mathematik neben den Zeichen für bestimmte Gegen- stände (den Eigennamen) noch Variable x, y,z%, ... ein, mit denen wir die Leerstellen der Funktionszeichen ebenfalls ausfüllen können. Eine bestimmte Ausfüllung einer Leerstelle heißt ein Wert der betreffenden Variablen. Die Werte einer Variablen sind im allgemeinen auf bestimmte Gattungen von Gegenständen beschränkt, die durch die Bedeutung der Funktionszeichen bestimmt werden. Z.B. stellt sich die Grund- beziehung der elementaren Geometrie der Ebene: ‚,der Punkt x liegt auf der Geraden y‘, durch ein Funktionszeichen mit zwei Argumenten L(x, y) dar.. Hier kommen als Werte für x nur Punkte, für y nur Ge- raden in Betracht. Setzt man in die Leerstellen der logischen Funktionen bestimmte Argumentwerte (d.h. Eigennamen von Individuen) ein, so ergeben sich bestimmte Aussagen, die richtig oder falsch sein können. Sind da- gegen die Leerstellen von Funktionszeichen mit Variablen ausgefüllt, so wird dadurch zunächst kein bestimmtes Urteil dargestellt, sondern wir haben nur einen symbolischen Ausdruck, der von der betreffenden 1 Es war bisher in der Logik üblich, nur die Funktionen mit einer Leer- stelle als Prädikate, dagegen Funktionen mit mehreren Leerstellen als Relationen zu bezeichnen. Die Unterscheidung von Prädikaten- und Funktionskalkül beruht auf diesem Gebrauch. Wir gebrauchen hier das Wort Prädikat in ganz all- gemeinem Sinne.