44 Der engere Funktionenkalkül.

Folgerungen abzuleiten. Hieran ändert sich auch nichts, wenn wir die
Darstellungsweise des kombinierten Kalküls benutzen.

Zur Verdeutlichung des hier vorliegenden Sachverhalts möge noch
ein weiteres, übrigens nicht der Mathematik angehöriges Beispiel an-
geführt werden. Es ist gewiß eine logisch selbstverständliche Behaup-
tung: „„Wenn es einen Sohn gibt, so gibt es einen Vater‘‘, und von einem
logischen Kalkül, der uns befriedigt, können wir verlangen, daß er diese
Selbstverständlichkeit in Evidenz setzt, in dem Sinne, daß der behaup-
tete Zusammenhang vermittels der symbolischen Darstellung als Folge
von einfachen, logischen Prinzipien kenntlich wird. Davon ist aber bei
unserem bisherigen Kalkül keine Rede. Wir können hier zwar (unter
Anwendung des kombinierten Kalküls) die betrachtete Behauptung
symbolisch ausdrücken durch die Formel: Wä Y wrn X
bezüglich die Prädikate ‚ist ein Sohn‘“‘, „ist ein Vater‘“ bedeuten. Doch
vermag uns diese Formel gewiß nicht zur Einsicht in die Richtigkeit
der Behauptung zu verhelfen, da sie ja bei anderer Einsetzung für
X und Y auch falsche Sätze ausdrücken kann. Es kommt in der
Formel nicht dasjenige zur Darstellung, worauf der logische Zusammen-
hang zwischen Vordersatz und Nachsatz beruht, daß nämlich die
Prädikate des Sohn-Seins und des Vater-Seins eine Beziehung eines
Gegenstandes zu einem anderen enthalten. Die entsprechende Sach-
lage findet sich bei fast allen komplizierteren Urteilen.

$ 2. Methodische Grundgedanken des Funktionenkalküls.

Da sich unser bisheriger Kalkül als ungenügend herausgestellt hat,
so sind wir genötigt, nach einer neuen Art der logischen Symbolik zu
suchen. Dazu kehren wir noch einmal zu dem Punkt unserer Betrach-
tungen zurück, an welchem wir zuerst über den Aussagenkalkül hinaus-
gingen. Den entscheidenden Schritt bildete hier die Spaltung der
Aussagen in Subjekt und Prädikat. Diese Zerlegung haben wir jedoch
nicht vollkommen ausgenutzt, indem wir bei der Darstellung der Aus-
sagen nur die Prädikate, nicht aber die Subjekte explizit bezeichneten.
Der Grund für diese Beschränkung der Symbolik lag darin, daß wir
bestrebt waren, hinsichtlich des Formalismus uns an den Aussagen-
kalkül anzuschließen. Lassen wir nun diesen Gesichtspunkt der An-
lehnung an den Aussagenkalkül fallen, so bietet sich als naturgemäß
das Verfahren dar, daß man in der Darstellung der Aussage die Gegen-
stände (Individuen) von den über sie ausgesagten Eigenschaften (Prädi-
katen) trennt und beide ausdrücklich bezeichnet.

Das tun wir in der Weise, daß wir zur symbolischen Darstellung
der Prädikate Funktionszeichen mit Leerstellen verwenden, wo dann
in die Leerstellen die Bezeichnungen der Gegenstände einzusetzen
sind. Z.B. kann das Funktionszeichen P () das Prädikat „ist eine