40 Der Prädikaten- und Klassenkalkül.

an (negiert oder unnegiert). Von der neuen Schreibweise gelangt man
zu der früheren dadurch zurück, daß man für V entweder Y oder Y
substituiert, ferner U, W oder aber W, U einem der Paare X, RX
X,Z; X, Z gleichsetzt und dann alle möglichen Vertauschungen von
Produktgliedern in Betracht zieht, welche (bei geeigneter Reihenfolge
der Prämissen) auf eines der formal zulässigen Dreiformelsysteme führen.

Prüfen wir nun jene sechs Paare von Prämissen I—VI daraufhin,
was aus ihnen gefolgert werden kann, so finden wir zunächst, daß sich
aus I., IV., V. kein Schluß der verlangten Art ergibt.

I. ist nämlich bei ganz beliebigem U, W erfüllt, falls das Prä-
dikat V auf kein Ding zutrifft. IV ist erfüllt, falls V auf alle Dinge
zutrifft, sofern nur U überhaupt für ein Ding zutrifft, und V. ist für
beliebige U und W, die überhaupt für ein Ding zutreffen, erfüllt, falls
V für alle Dinge zutrifft.

Auch die Prämissen VI. liefern keinen der in Betracht kommenden
Schlußsätze. Denn damit sie, durch geeignete Wahl von V, befriedigt
werden können, genügt es, daß U und W für je ein Ding zutreffen. Die
genannten Bedingungen sind jedoch mit der Falschheit eines jeden
der in Frage stehenden Schlußsätze vereinbar.

Demnach kommen für unsere Schlüsse einzig die Fälle II. und III.
in Betracht. Die beiden Prämissen von II. |U vV| und |VvW|
liefern, wenn man die Abkürzung — einführt, und die erste der
auf S. 37 angegebenen Formeln benutzt, unmittelbar die Beziehung
|UvW|. Ferner ist auch |UvW| die stärkste Folgerung, die
aus den beiden Prämissen gezogen werden kann, da bei Gültigkeit
dieser Beziehung die beiden Prämissen befriedigt werden, falls man V
gleich W setzt.

Bei III. bedeutet die erste Prämisse | U v V |, daß es Dinge gibt
(d. h. wenigstens ein Ding), auf die gleichzeitig U und V zutrifft. Die
zweite Prämisse, | V v W |, bedeutet, daß jedes Ding, das die Eigen-
schaft V hat, auch die Eigenschaft W besitzt. Daraus folgt, daß es
Dinge gibt, für die gleichzeitig U und W zutrifft, oder daß |UvW
eine richtige Formel ist.

Ist umgekehrt die Formel "U_I/I7| richtig, so werden die Prä-
missen III. befriedigt, indem man V gleich W setzt.

Somit ergibt sich, daß die von uns betrachteten Schlüsse sich alle
auf zwei Hauptformen zurückführen lassen, nämlich:

 

 

 

1UvT| [UvV|
(A) |VvW| — @®) |7vW|
U W} 177 w

Es handelt sich nun noch darum, von diesen beiden Hauptformen
vermittels der verschiedenen zulässigen Transformationen wieder zu den