$ 3. Systematische Ableitung der traditionellen Aristotelischen Schlüsse. 39

„Einige 4 sind B“ als gleichbedeutend erweist mit „Einige B sind A“
und ebenso das Urteil „Kein A ist B“ als gleichbedeutend mit ‚‚Kein
B ist A“. Dagegen ist bei den Formen a und 0 keine solche Umkehrung
möglich.

Wir wenden jetzt diese Darstellungsweise der vier Urteilsformen
bei den Schlüssen an, indem wir für die Prädikate „ist S‘‘, „ist M“‘, „ist
P“ die Zeichen X, Y, Z einführen. Jeder Schluß besteht dann aus drei
Formeln. Die erste Prämisse wird dargestellt durch eine der vier Formen:

|FZ Z Z Z
bzw. durch deren logisches Gegenteil. Bei der zweiten Prämisse hat
man entsprechend eine der Formen:

M 1YVX[; A A XS
oder deren Gegenteil. Beim Schlußsatz hat man, negiert oder un-
negiert, eine der beiden Formen:
F Zn
(Man beachte, daß X, Y und Z unnegiert nur als zweites Glied eines
Produktes auftreten können.

Zu diesen formalen Bedingungen tritt nun noch die Forderung,
daß die dritte Formel eine Folge der beiden ersten sein soll, in dem Sinne,
daß beim Einsetzen bestimmter Prädikate für X,. Y, Z die beiden
ersten Formeln nicht erfüllt sein können, ohne daß auch die dritte gül-
tig ist.

Es kommt jetzt darauf an, zu untersuchen, wie durch diese For-
derung die Mannigfaltigkeit der zulässigen Formelkombinationen be-
schränkt wird.

Für diese Diskussion ist die Bemerkung nützlich, daß wir, ohne
an der Richtigkeit einer Formel etwas zu ändern, zwei Glieder eines
Produktes miteinander vertauschen können. Ferner ist die Reihen-
folge der Prämissen unwesentlich, und wegen der Allgemeinheit, mit
der die Schlußfolgerung gelten soll, macht es nichts aus, ob ein Prä-
dikat mit U oder U bezeichnet wird. Auf Grund dieser Tatsachen
können wir jedes Paar von Prämissen auf eine von den folgenden sechs
Normalformen zurückführen:

 

 

,

 

PE SM V
|YvW| |YvW| [7vW|
II OR MO VLTG
|VvW| |VvW| 17vW|

Das im Schlußsatz stehende Produkt nimmt eine von den Formen

LO W I U W