$ 3. Systematische Ableitung der traditionellen Aristotelischen Schlüsse. 37

trifft auf alle Dinge zu. Die beiden Aussagen, die eben zur Verwechs-
lung Anlaß gaben, sind dann durch | X | und |X| unterschieden.
Mit Hilfe des kombinierten Kalküls können dann die fartikulären
Aussagen dargestellt werden. Z. B. kann die Aussage ‚„‚Einige Zahlen
sind ungerade“‘ folgendermaßen umgeformt werden: „Es ist nicht wahr,
daß alle Zahlen gerade sind.‘“ — Bezeichnet man das Prädikat ‚„Zahl
sein‘‘ mit X, das Prädikat „gerade sein‘“ mit Y, so schreibt sich zu-
nächst die Aussage „Alle Zahlen sind gerade“ symbolisch |X vY|.
Das Gegenteil dieser Aussage wird also dargestellt durch TXVY{.
Allgemein bezeichnet |XvY| die Aussage: es gibt Dinge, für die
gleichzeitig X und Y zutrifft.

In dem kombinierten Kalkül kommen eine Reihe von neuen immer
richtigen Formeln zu den bisherigen hinzu. Derartige Formeln sind z. B.

{X->Y|&|Y->Z|)}->|X—->Z|
[ Z
Eine systematische Aufstellung und Untersuchung dieser Formeln

soll, aus den am Schluß des nächsten Paragraphen angeführten Grün-
den, nicht gegeben werden.

 

 

 

$ 3. Systematische Ableitung der traditionellen
Aristotelischen Schlüsse.

Nachdem unser Kalkül die erforderliche Ergänzung erfahren hat,
wollen wir jetzt zur Anwendung des Kalküls auf die Lehre von den lo-
gischen Schlüssen eingehen. Es handelt sich darum, zu erkennen, wie
sich die klassischen Aristotelischen Schlußfiguren in unseren kombi-
nierten Kalkül einordnen und wie sie sich vom Standpunkte dieses
Kalküls systematisieren und begründen lassen.

Die charakteristischen Eigenschaften der zu betrachtenden Schlüsse
sind folgende: Sie bestehen aus drei Sätzen, von denen der dritte (der
Schlußsatz) eine logische Folge der beiden ersten (der Prämissen) bildet.
Jeder der drei Sätze hat eine der vier Formen:

„Alle A sind B“ (allgemein bejahendes Urteil).

„Einige 4 sind B“ (partikulär bejahendes Urteil).

„Kein A ist B“ (allgemein verneinendes Urteil).

„Einige 4 sind nicht B“ (partikulär verneinendes Urteil).

Zur abgekürzten Bezeichnung dieser vier Formen pflegt man die
Vokale a, £, e, 0 (in der angegebenen Reihenfolge) zu verwenden. Als
gemeinsames Zeichen für die vier Urteilsarten möge das Symbol AB
dienen.

In den drei Sätzen treten im ganzen drei Begriffe auf, der Sub-
jektsbegriff (S), der Prädikatsbegriff (P) und der Mittelbegriff (M); und
zwar hat der Schlußsatz die Form SP, und von den Prämissen enthält