36 Der Prädikaten- und Klassenkalkül.

kömmt. Natürlich ist dabei der Fall nicht ausgeschlossen, daß eine
Kilasse keinen Gegenstand enthält. Die Klassen sollen jetzt als Ob-
jekf& des Kalküls genommen werden, welchen wir dann in dieser Inter-
pretation als ‚‚Klassenkalkül‘“ bezeichnen.

Unter X ist die Klasse zu verstehen, die aus allen Gegenständen
besteht, die nicht zur Klasse X gehören. X & Y bezeichnet den Durch-
schnitt der beiden Klassen X und Y, X v Y die Vereinigungsklasse.
X—>Y und X Y können, wie früher, als Abkürzungen für Xv Y bzw.
XvY &Y v£X aufgefaßt werden. Sagt man, eine Formel X ist richtig,
so soll das heißen, daß X die Klasse ist, die aus allen Gegenständen
besteht. Sämtliche Regeln des Prädikatenkalküls gelten dann bei
diesen Festsetzungen auch unverändert für den Klassenkalkül. Die
Richtigkeit von X—> Y bedeutet nach dieser Interpretation, daß die
X entsprechende Klasse eine Teilklasse der durch Y bestimmten Klasse
ist; die Formel X Y ist dann und nur dann richtig, wenn die Klassen
X und Y identisch sind.

Das allgemeine Urteil „Alle Menschen sind sterblich‘‘ 1äßt sich im
Klassenkalkül so formulieren :

‚„„Die Vereinigungsklasse, gebildet aus der Klasse der Nicht-Menschen
und der Sterblichen, umfaßt alle Gegenstände.““

Es hat dieselbe formale Darstellung wie beim Prädikatenkalkül.

$ 2. Vereinigung des Prädikatenkalküls mit dem
Aussagenkalkül.

Die Schlüsse der traditionellen Logik lassen sich in dem Prädi-
katenkalkül noch nicht alle formalisieren, weil uns eine Darstellung der
partikulären Urteile fehlt. Diese Darstellung wird erst erreicht durch die
Verbindung des Aussagenkalküls mit dem Prädikaten- oder Klassenkalkül.
Wir gelangen zu dieser Vereinigung auf Grund der Erwägung, daß die
Beziehungen des Prädikatenkalküls ja Aussagen darstellen, welche den
Regeln des Aussagenkalküls unterworfen werden können. Dieser Ge-
danke führt zur Aufstellung eines kombinierten Kalküls, in dem die
logischen Zeichen &, v, — teils zur Verknüpfung von Aussagen und
teils zur Verknüpfung von Prädikaten gebraucht werden.

Es wäre dann aber zunächst zweifelhaft, ob eine Aussage X be-
deutet, das Prädikat X trifft auf kein Ding zu, oder aber, es ist nicht
richtig, daß X auf alle Dinge zutrifft. Bezeichnet z. B. X das Prädikat
„Schön sein‘“, so wäre X nach der einen Deutung zu lesen: Alle Dinge
sind nicht-schön, und nach der anderen: Nicht alle Dinge sind schön.
Wir können diese Schwierigkeit dadurch vermeiden, daß wir die Prä-
dikate durch zwei senkrechte Striche abschließen. |X v Y | würde
dann bedeuten: das Prädikat X v Y trifft auf alle Dinge zu, |X|v|Y|
dagegen: das Prädikat X trifft auf alle Dinge zu oder das Prädikat Y