$ 1. Inhaltliche Umdeutung der Symbolik des Aussagenkalküls. 35

Prädikate sind nun, für sich genommen, weder wahr noch fälsch.
Behauptet man also von einer Formel X bzw. X v Y, daß sierich-
tig ist, so muß das einen anderen Sinn haben als bisher. Wir wollen
jetzt darunter verstehen, daß das Prädikat X bzw. XvY auf alle
Gegenstände zutrifft.

Damit sind die Bedeutungen für alle Zeichen im Prädikatenkalkül
festgelegt. Sämtliche Formeln erhalten den Sinn von allgemeinen Ur-
teilen. Um die gewöhnlichen allgemeinen Urteile, wie etwa „Alle Men-
schen sind sterblich‘‘, zur Darstellung zu bringen, kann man zunächst
ein solches Urteil in der Form aussprechen: „Alle Gegenstände sind
nicht Menschen oder sterblich‘‘. Führt man dann für das Prädikat ‚,ist
ein Mensch‘‘ das Zeichen X, für „ist sterblich‘“ das Zeichen Y ein, so
ergibt sich die symbolische Darstellung des Urteils durch: XvY.
Entsprechend wird ein negatives allgemeines Urteil wie „Kein Mensch
ist vollkommen“‘ durch die Formel: X v Y dargestellt, worin X, Y be-
züglich die Prädikate ‚ist ein Mensch“, ‚„ist vollkommen“‘‘ bedeuten.
Die genaue Interpretation der Formel X v Y lautet: Alle Gegenstände
sind nicht Menschen oder nicht vollkommen.

Wir können nun wieder nach den immer richtigen Formeln fragen,
d. h. nach denjenigen Formeln, die bei Einsetzung beliebiger Prädikate
für die Variablen X, Y, ... ein auf alle Gegenstände zutreffendes Prä-
dikat ergeben. Es ist dann leicht einzusehen, daß bei der neuen Inter-
pretation des Kalküls das System der immer richtigen Formeln genau
dasselbe ist wie beim Aussagenkalkül.

Es gelten nämlich zunächst wieder die Äquivalenzen a1)—a4), die
die Umformung der Ausdrücke zur konjunktiven Normalform ermög-
lichen. Ferner überzeugt man sich leicht, daß eine auf die Normalform
gebrachte Formel dann und nur dann immer richtig ist, wenn jedes
Konjunktionsglied einen Faktor Xv X enthält. Es kann also der
Formalismus des Aussagenkalküls vollständig beibehalten werden; wir
brauchen nur den Formeln eine andere Deutung zu geben.

Neben der ursprünglichen Deutung und der Deutung im Sinne
des Prädikatenkalküls gibt es für die Formeln des Aussagenkalküls
noch eine dritte Interpretation. Es handelt sich hier aber gegenüber
dem Prädikatenkalkül nicht wieder um die Einführung neuer logischer
Beziehungen, sondern es wird nur den im Prädikatenkalkül ausdrück-
baren Tatsachen eine veränderte Darstellung gegeben, welche für die
Zwecke der Veranschaulichung Vorteile bietet. Diese Änderung der
Darstellung besteht darin, daß wir die Prädikate, statt sie nach ihrem
Inhalt zu bestimmen, durch :ihren Umfang charakterisieren. Jedem
Prädikat entspricht eine bestimmte ‚„‚Klasse‘“1 von Gegenständen, indem
man zu der Klasse alle Gegenstände rechnet, denen das Prädikat zu-

1 In der Mathematik wendet man an Stelle der Ausdrücke ‚‚Klasse‘“ ge-
wöhnlich das Wort ‚‚Menge‘‘ an.

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