$ 13. Die Unabhängigkeit und@’ollständigkeit des Systems. 33

 

0v0=0v1=1v0=0vVv2=2V0=0v3=3v0=2V3=3V2=0
1YÜ= 1 VE ZND
2v2=2,3v3=3.

 

Dann ergeben die Formeln a), b), c) immer den Wert 0 und ebenso
alle daraus abgeleiteten Formeln. Dagegen erhält d) den Wert 2, wenn
man Xi= 30 Y 1 und Z 2 mn

Wir haben damit die Unabhängigkeit der Axiome a)—d) gezeigt.
Stellen wir nun die Frage nach der Vollständigkeit. Die Vollständigkeit
eines Axiomensystems läßt sich in zweierlei Weise definieren. Einmal
kann man darunter verstehen, daß sich aus dem Axiomensystem alle
richtigen Formeln eines gewissen, inhaltlich zu charakterisierenden
Gebietes gewinnen lassen. Man kann aber auch den Begriff der Voll-
ständigkeit schärfer fassen, so daß ein Axiomensystem nur dann voll-
ständig heißt, wenn durch die Hinzufügung einer bisher nicht ableit-
baren Formel zu dem System der Grundformeln stets ein Widerspruch
entsteht.

Die Vollständigkeit im ersten Sinne würde hier besagen, daß man
aus den Axiomen a)—d) alle immer richtigen Aussageformeln ab-
leiten kann. Sie ist, wie wir schon sahen, erfüllt.

Es besteht aber auch die Vollständigkeit in dem schärferen Sinne.
Wir können uns davon auf die folgende Weise überzeugen: Sei X irgend-
eine aus den Axiomen nicht beweisbare Formel. ® sei der zu Y ge-
hörige Ausdruck in der konjunktiven Normalform. Da %B ebensowenig
wie %{ beweisbar sein kann, so muß unter den Summanden von $ ein
einfaches Produkt © vorkommen, bei dem keine zwei Glieder einander
entgegengesetzt sind. Setzt man in © für jedes unverneinte Aussage-
zeichen X, für jedes verneinte Aussagezeichen X ein, so erhält man
ein Produkt der Form XvXvXv...vX, das nach den Regeln des
Aussagenkalküls mit X äquivalent ist. Würde nun Y als richtige Formel
postuliert, so würde sich auch $ und € und schließlich X als richtige
Formel ergeben. Dann dürfte aber auch X für X eingesetzt werden,
und wir erhielten einen Widerspruch. Es stellt sich also das System
der betrachteten Axiome als vollständig heraus.

Hilbert-Ackermann, Grundzüge.

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