32 Der Aussagenkalkül.

einsicht. Wäre daher die Formel a) aus b), c), d) und X v X mit Hilfe
der =Regeln ableitbar, so müßte , XX v X für jeden zulässigen Wert
von”X die Restklasse 0 ergeben. Dies ist aber nicht der Fall. Denn
setzen wir für X den Wert 2 ein, dann ergibt sich:

2A2
also nicht der Wert 0.
Die Unabhängigkeit des Axioms b) X v(X v Y) von den übrigen
Axiomen zeigen wir auf folgende Weise. Es werden wieder X, Y,Z

als Variable betrachtet, die die Werte 0, 1, 2 annehmen können. Wir
definieren aber jetzt die Verknüpfung v für diese Variablen durch:

O - D Or 0 072=0, 1vi1= 17 4v2=1% Z Z

und durch die Festsetzung, daß das kommutative Gesetz gelten soll,
Ferner versteht man unter 0, 1, 2 bezüglich 1, 0, 2. Welche Werte man
dann für die Variablen auch wählt, so ergeben die Formeln a); Oaa
immer den Wert 0. Diese Eigenschaft bleibt für alle Formeln bestehen,
die man mit Hilfe der beiden Regeln aus a), c), d) ableitet. Dagegen
hat X(XY) den Wert 1, falls man X =2 und Y = 2 nimmt.
Entsprechend zeigt man die Unabhängigkeit des Axioms c):
XY(YX). Man erklärt 0 durch 1, 1 durch 2, 2 durch 0. Ferner. sei

0vOo 0v1 0x2 1Ö Z 21 E

d = 4N 2= 4 2y2=2.

 

 

 

 

Man erkennt dann leicht, daß die Formeln a), b), d) bei beliebigen
Ersetzungen der großen lateinischen Buchstaben durch die Zahlen 0, 1, 2
den Wert 0 ergeben, und daß diese Eigenschaft bei Ableitung neuer
Formeln erhalten bleibt. Dagegen erhält c) den Wert 1, falls man X
durch 2 und Y durch 1 ersetzt. Dieser Unabhängigkeitsbeweis liefert
uns noch mehr. Er zeigt, daß das assoziative Gesetz

X(YZ) (XY)Z)

nicht ohne Benutzung des Axioms c) bewiesen werden kann. Ersetzt
man nämlich in dieser Formel X durch 1, Y durch 2, Z durch 1, so wird

1v(2v1) v((41v2)v1)=0v1=1v1=14.
Das assoziative Gesetz ist also ebenfalls von den Axiomen a), c) und d)
unabhängig.

Es bleibt noch übrig, die Unabhängigkeit des Axioms d) von den
übrigen Axiomen zu zeigen. Dies gelingt durch das folgende System von
Definitionen:

Die Variablen X, Y, Z mögen die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen können.
Es sei

e L =Z0 z O,