$ 12. Die Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems. 29

Formel (20): XY & XZ —> X(Y &Z).

Beweis: Y—>(Z—>VY &Z) [Formel (18)],
(Z>Y &Z)>(XZ > X(Y &Z)) [Axiom d)],
Y —> (XZ —> X(Y &Z)) [Regel V],
XZ > (Y —> X(Y &Z)) [Regel VII],
(Y > X(Y &Z)) > [XY > X(X(Y &Z))] [Einsetzung in
XZ > [XY > X(X(Y & Z))] [Regel VI, Axiom d)],

X(X(Y &Z)) kann durch (XX)(Y &Z) und weiter durch X(Y & Z)

ersetzt werden.

NS Z

Daraus ergibt sich die obige Formel nach Regel VII.

Aus Formel (19) und (20) zusammen mit Regel VI erhält man die
Ableitung des Distributivgesetzes.

Ein weiteres Ableiten von Formeln und Regeln erweist sich als
unnötig. Es zeigte sich nämlich, daß die Regeln a 1)—a4), b1)—b3),
die wir früher aufgestellt hatten, sich aus den Axiomen als abgeleitete
Regeln gewinnen lassen. Daraus folgt, daß alle die Bemerkungen, die
wir früher im Anschluß an diese Regeln machten, z. B. die, die das
Prinzip der Dualität und die Normalform betrafen, sich auch axioma-
tisch wiedergewinnen lassen. Demnach braucht man, um die Beweis-
barkeit einer Formel zu zeigen, nicht jedesmal bis auf die Axiome
zurückzugehen. Denn eine Aussagenformel ist dann und nur dann
aus den Axiomen beweisbar, wenn in der zugehörigen konjunktiven
Normalform jeder Summand zwei Faktoren enthält, von denen der
eine das Gegenteil des anderen ist.

$ 12. Die Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems.

Die axiomatische Einführung des Aussagenkalküls macht es uns
möglich, auf den Aussagenkalkül die Fragestellungen und Betrach-
tungen, die der axiomatischen Methode eigentümlich sind, anzuwenden.
Die wichtigsten der entstehenden Fragen sind die nach der Widerspruchs-
freiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des Axiomensystems. Wir
wollen uns zunächst mit der Widerspruchsfreiheit der Axiome be-
fassen.

Die Frage nach der Widerspruchsfreiheit kann hier in einem über-
tragenen Sinne gestellt werden. Wir wollen die Axiome widerspruchs-
frei nennen, wenn es unmöglich ist, mit Hilfe des Kalküls zwei Aus-
sagenverbindungen abzuleiten, die in der Beziehung des Gegenteils zu-
einander stehen, die man also aus dem Aussagenpaar X, X erhält,
wenn man X beide Male in gleicher Weise ersetzt.