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28 Der Aussagenkalkül.

Formel (16): (XY)Z —> X(YZ).

Beweis: Z(YX) —> (ZY)X [Einsetzung in (15)].

Unter Anwendung des kommutativen Gesetzes kann Z(YX) durch
(XY)Z und (ZY)X durch X(YZ) ersetzt werden.

Aus Formel (15) und (16) und Regel VI ergibt sich, daß nicht
nur die Reihenfolge, sondern auch die Zusammenfassung der Faktoren
gleichgültig ist. Wir haben also auch. das assoziative Gesetz für das
Produkt abgeleitet.

Formel (17): X & (Y &Z)—> (X&Y)&Z,

ME ZE XE& &Z).

Beweis: X & (Y &Z) ist eine Abkürzung für XYZ, (X & Y) &Z
eine solche für XYZ. Beide Ausdrücke sind aber nach unseren bisherigen
Regeln äquivalent und dürfen beliebig füreinander eingesetzt werden.

Formel (18): X> (Y—>X& Y).

Beweis: (XY)XY [Einsetzung in (3)].
X(YXY) entsteht daraus durch anderes Zusammenfassen der Faktoren.
Dies ist die gesuchte Formel.

Regel VII: X —> (B — C) ist durch B—> (U— ©C) und (AU&B) —> €
ersetzbar.

Der Beweis ergibt sich sofort aus unseren Regeln, falls man die
Abkürzungen — und & durch ihre Bedeutung ersetzt.

Regel VIIT: X —> (X—>B) kann durch X—> B ersetzt werden.

Beweis: AU(AB) kann durch (AAX) B oder durch AB ersetzt werden

Formel (19): X(Y &Z)—> XY & XZ.
Beweis: Y &Z-—>Y [Formel (12)],
X(Y &Z)—>XY [nach Regel IV].

Ebenso erhält man aus Formel (13):

AUYEZ)AXZ,

XY—>(XZ—>XY & XZ) [Formel (18)],

X(Y&Z)—> (XZ —> XY & XZ) [nach Regel V],

XZ —> (X(Y &Z) — XY & XZ) [nach Regel VII],
X(Y &Z) —> (X(Y &Z) > XY & XZ) [nach Regel V],
X(Y &Z) —> XY & XZ [Regel VIII].