$ 11. Beispiele für die Ableitung von Formeln aus den Axiomen. OM

X->XvX erhält, so darf ein Ausdruck von der Form X v X immer
durch X ersetzt werden und umgekehrt.

Formel (D& XE

Beweis: XY > YX entsteht aus XY — XY, indem man die Regel
von der Kommutativität des Produktes anwendet.

Formel (12):; X& Y-—>X,
Beweis: X —> XY [nach Axiom b],
XY > X [nach Formel (6)],
X&Y-—>X,
XE
Formeb ( XE
Der Beweis ergibt sich aus (11) und (12).
Formel (14): X(YZ)-— Y (XZ).

Beweis: Z —> XZ [aus Axiom b) dutrch Vertauschung der Fak-
toren],
YZ > AA(XZY [Regeh IV

X (YZ) XX (XZ) - Reseh i
X(YZ) > (Y(XZ))X* [Kommutativität des Produktes],

X-—>ZX [aus Axiom b) durch Vertauschung der
Faktoren],

XZ > VY(XZ) [Einsetzung in die vorige Formel],
X YXZVRESe ,
(Y(XZ))X > (Y(XZ))(Y(XZ)) [Regel IV],
(YXZ)XA
(Ersetzung von Xv X durch Y.)
* und ** ergeben nach Regel V:
XYZ) S YXZ)
Formel. (15): X( Z OO
Beweis: X(YZ)-—> X(ZY) [kommutatives Gesetz],
AUZ ) —> Z(XY) ‚[Formel (14)],
X(YZ) - Z(AY Kesel V,

Daraus entsteht Formel (15) durch Anwendung des kommutativen
Gesetzes. .