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26 Der Aussagenkalkül.

Es seien also X—>B und B — M schon bewiesen. Wir beweisen
dann:

x) A—> B und B —A,

Man erhält diese beiden Formeln, indem man zunächst durch Ein-
setzung in Formel (6)
(U—8B) —> (B — W),
(B —> U > A—B)
beweist, und benutzt, daß X—>B und B —> A schon bewiesen sind.

ß) CA—> CB; CB —> CA.

Beide Formeln erhält man aus —>® bzw. B —> A durch An-
wendung der Regel IV.

7) AC — BEC; BE — AC.

Dieser Fall 1äßt sich auf ß) zurückführen, indem man mehrmals
das Axiom c) und die Regel V anwendet.

Als Anwendung von Regel VI und Axiom c) ergibt sich die Kom-

mutativität des Produktes. Da man nämlich durch Einsetzung in c)
erhält

und

AvB—>BvA und BvA>-AvVB,

so darf in jeder Aussagenverbindung für ein Produkt Xv® immer
B vA eingesetzt werden.

Desgleichen ergibt sich aus Formel (4) und (5) und der Regel VI,
daß man %X durch X ersetzen darf und umgekehrt.

OE N XE XNN,

Beweis: X & Y ist eine Abkürzung für XY. Die Formel XY > XY
entsteht durch Einsetzung aus X—>X,

Ebenso gewinnt man aus-X —> X die folgende Formel:

Formel (8): XvY-—>X&Y.
Formel (9): XvY-—>X&Y.
Formel (10): X& Y—>XvY.

Beweis: Die beiden Formeln (9) und (10) schreiben sich ohne Ab-

kürzung
XT und X X

Sie entstehen aus XvY-—>XvY, indem nach Regel VI auf der rech-
ten bzw. linken Seite X durch X und Y durch Y ersetzt wird.

Die Formeln (7), (8) und (9), (10) liefern uns in Verbindung mit
Regel VI die früher inhaltlich abgeleitete Regel a3), S. 9.

Eine weitere Anwendung der Regel VI ist die folgende: Da nach
Axiom a) X v X —X gilt, und da man aus Axiom b) durch Einsetzung