8 11. Beispiele für die Ableitung von Formeln aus den Axiomen, 95

Die letzte Formel ist eine abgekürzte Schreibweise für X v X.
Formel (3): Xv£X.
Diese Formel ergibt sich aus (2) durch Anwendung der Regel IIL,
Formel (4): X — X
Beweis: (4) ist eine Abkürzung für XX, und diese Formel geht
aus (3) hervor, indem man X für X einsetzt.
Formel (5): X—>X.
Beweis: X —> X [durch Einsetzung in (4)],
XX->X£X [nach Regel IV],
XX [wegen (3) und Regel £)],
XX [nach Regel III].

Das letzte ist die Formel (5).
Formel. (6): (X —> Y) > (Y —> X).
Beweis: Y-—+Y [Formel (4)],
XY+XY [Regel IVI;
XY-—>YZX [Einsetzung in c)],
XY-—>YX [Regel V].

Das ist die gesuchte Formel.

Regel VI: Tritt ein Ausdruck X als Bestandteil in einer Aussagen-
verbindung auf, die in diesem Sinne mit D(M) bezeichnet werden möge,
und sind X—>B und B—> U beweisbare Formeln, so sind auch D(AX) — D (B)
und D (B) —> D(M) beweisbare Formeln. — Durch die Form von X und
durch den Gesamtausdruck ist übrigens noch hnicht eindeutig be-
stimmt, was ® (M) bedeuten soll. Der Ausdruck X—>XY kann z. B.
in dreierlei Sinne als 5(X) bezeichnet werden, da für D(M) jeder
der drei Ausdrücke —> XY, X>AY, UA—>UY genommen werden
kann. Die Regel VI trifft für jede mögliche Definition von P (A) zu.

Diese Regel läßt sich auch so aussprechen: Zwei Ausdrücke, die
in gegenseitiger Folgebeziehung stehen, dürfen in einer beweisbaren Formel
für einander eingesetzt werden.

Beweis: Es genügt, die Regel für den Fall zu beweisen, daß X nur
einmal in (W) vorkommt, und daß D(A) eine der Formen M, CM, AC
hat. Die allgemeine Regel läßt sich durch mehrfache Anwendung dieser

einfachen Regel gewinnen, indem man ® von innen heraus aufbaut.
Für jeden Teilausdruck ®’ von ® erhält man nämlich sukzessive

D' (B) > P und D(M)-> P'(B).