8& 11. Beispiele für die Ableitung von Formeln aus den Axiomen. 23

i

x) Einsetzungsregel.
Für eine Aussagenvariable (d. h. für einen großen lateinischen Buch-

staben) darf überall, wo sie vorkommt, ein und dieselbe Aussagenverbin-
dung eingesetzt werden,

ß) Schlußschema.,.

Aus zwei Formeln X und X—>B gewinnt man die neue Formel G,

Beispiele dafür, wie man aus den angegebenen Axiomen neue
Formeln ableitet, werden wir im folgenden Paragraphen kennenlernen.
Hier sei nur folgendes bemerkt: Es sind bei der Aufstellung des Axiomen-
systems nur die Verknüpfungen v und — angewandt worden. Ebenso-
gut kann man Axiome zugrunde legen, in denen nur & und —
oder > und — vorkommt. Letzteres geschieht z. B. von Hilbert bei
seiner „Neubegründung der Arithmetik‘“1. Natürlich kann man auch
alle Verknüpfungen nebeneinander gebrauchen. — Das hier angegebene
System ist im wesentlichen dasselbe wie das von W kitehead und Russell
benutzte?, Whitehead und Russell haben außer unseren ‚vier Axiomen
noch ein weiteres, nämlich

AA Z XNZE

Es ist aber von P. Bernays gezeigt worden, daß dieses Axiom ent-
behrlich ist, indem es sich aus den übrigen beweisen läßt®, Der Beweis
ist unter den Ableitungen des‘ nächsten Paragraphen enthalten.

Obwohl wir nur die Verknüpfungen v und — dem Kalkül zu-
grunde gelegt haben, werden wir der Bequemlichkeit halber die Zeichen
—, &, » ebenfalls gebrauchen. Es ist. dann X —> Y als eine Abkürzung
für XvY, X & Y als Abkürzung für X v.Y und X.> Y als Abkürzung
fürh(X S Y& ( X), oder genauUeH XYvYZX, zu ‘betrachten.

Sämtliche Axiome und . Regeln sind in Übereinstimmung mit der
inhaltlichen Interpretation des Kalküls gebildet. Es müssen also auch
alle .Formeln, die wir in dem Kalkül ableiten können, bei der inhalt-
Jlichen Deutung richtige Urteile darstellen,

8 11. Beispiele für die Ableitung von Formeln aus den
Axiomen,
Es sollen jetzt eine Reihe von Beispielen für die streng formale
Ableitung von Formeln aus den Axiomen gegeben werden, Wir wollen

ı D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Ann. Bd. 88,
SA

“

A.N. Whitehead und B. Russell: Principia mathematica,
P. Bernays: Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia
mathematica. Math. Zeitschr. 25 (1926).

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