DD Der Aussagenkalkül,

Aussagenverbindungen zu finden, die schwächer sind als eine vorgelegte.
Man kann nun umgekehrt fragen, welche Aussagenverbindungen stärker
sind als die vorgelegte, d. h. aus welchen Voraussetzungen sie sich als
Folgerung ergibt. Die Lösung dieses Problems geschieht in ähnlicher
Weise wie vorher: Die Folgerung wird zunächst nach sämtlichen Grund-
aussagen entwickelt, also auf die ausgezeichnete Normalform gebracht.
Man wählt nun von den nicht vorkommenden Konstituenten irgend-
welche aus, fügt sie mit & zu der Folgerung hinzu und erhält so alle
möglichen Voraussetzungen.

$ 10. Die Axiome des Aussagenkalküls.

Die axiomatische Form für die Theorie des Aussagenkalküls wird
dadurch erhalten, daß man unter den immer richtigen Aussagenver-
bindungen eine Auswahl trifft und dann formale Regeln angibt, nach
denen sich alle übrigen immer richtigen Formeln aus jenen ableiten
lassen. Diese Regeln spielen im Logikkalkül dieselbe Rolle, welche sonst
in den mathematischen und physikalischen Theorien das logische
Schließen hat. Daß das logische Schließen hier nicht.in der gewöhn-
lichen inhaltlichen Weise benutzt werden darf, liegt daran, daß ja die
logischen Schlußweisen den Gegenstand unserer Untersuchung bilden.

Wir unterscheiden zwischen /ormalen Axiomen (logischen‘ Grund-
formeln) und inhaltlichen Axiomen (Grundregeln zur Ableitung rich-
tiger Formeln). Als formale Axiome wollen wir die folgenden vier ein-
führen:

a)
BV

X YY yx.
ÜE ZEN:

C

Das erste Axiom bedeutet, daß eine Aussage richtig ist, wenn das
Produkt der Aussage mit sich selbst richtig ist. Das zweite Axiom
ist nichts anderes als die auf S. 11 erwähnte Regel b 2), das.dritte
postuliert die Kommutativität des Produktes und das vierte sagt, daß
bei einer richtigen Folgebeziehung X> Y beide Seiten mit einer be-
liebigen Aussage Z multipliziert werden dürfen.

Das Zeichen — wollen wir übrigens nur als Abkürzung gebrauchen.
X —Y soll eine bequemere Schreibweise sein für X v Y. Das Axiom a)
z. B. heißt also ohne Abkürzungen geschrieben: XvXvX.

Auf diese zugrunde gelegten Ausgangsformeln wenden wir nun die
folgenden Regeln an: