SC Der Aussagenkalkül.

S

A& (A — B) wird zunächst nach 4 und B entwickelt.
A& (4A — B)äq A &AB, ;
A& ABäq A(B &B) & AB,
A(B&B)& ABäq AB & AB & AB.
AB & AB &AB stellt die ausgezeichnete Normalform für die Axiome dar.
AB&ABägq (A & A) Bäq B ist also eine Folgerung aus den
Axiomen.

Die anderen Folgerungen, die man noch aus A und A —B ge-
winnen kann, sind AB; AB; AB; AB& ABägq A(B &B)ägq 4;
AB&ABäq A B und natürlich AB & AB & AB äq A &B. Will man
auch die Folgerungen erhalten, in denen noch eine andere nicht in
den Axiomen vorkommende Aussage C vorkommt, so muß man die
Voraussetzung statt nach A und B, nach A, B, C entwickeln.

Ein anderes Beispiel ist das folgende: Man habe zwei Axiome
A B, B& C. Ichschreibe zunächst die Axiome in der Normalform:

ABSOBAYLBERICBH:
Entwickelt man die Voraussetzung nach A, B und C, so erhält man:
ABC & ABC & ABC & ABC & ÄABC & ABC.
Eine Konsequenz ist hier z.: B.:
ABC & ABC & ÄBC_& ABr

Durch Zusammenfassen ergibt sich:

AC(B & B) & AC (B & B)
oder WE A L A C.,

Es sollen noch zwei Beispiele für die Anwendung solcher Schlüsse
angeführt werden:

Es bedeute A die Aussage ‚‚jede reelle Zahl ist algebraisch‘‘, B be-
deute ‚„‚die Menge der reellen Zahlen ist abzählbar‘‘. In der Mathematik
wird gezeigt :

erstens: A — B, d.h. „wenn jede reelle Zahl algebraisch ist, so
ist die Menge der reellen Zahlen abzählbar‘‘;

zweitens: B, d. h. „die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar“‘.
Die Voraussetzung ist hier

AB& B
oder in entwickelter Form:
AB&AB&AB.

Eine Konsequenzisthier 4B & A Bäq A (B & B) äq A. D. h. man findet:
„Nicht jede reelle Zahl ist algebraisch.‘‘ Dies ist der Schluß auf
die Existenz transzendenter Zahlen.