8 9. Systematische Übersicht über alle Folgerungen. 19 rungen abzuleiten, insoweit das möglich ist, falls wir die Aussagen mur als ungetrenntes Ganzes betrachten. Denken wir uns eine bestimmte endliche Anzahl von Axiomen, Aı M, ... Mn !, gegeben. Die Frage, ob dann eine bestimmte andere Aussagenverbindung © eine logische Folgerung dieser Axiome dar- stellt, läßt sich mit den bisherigen Mitteln durchaus beantworten. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn (A, &A &... Mı) > € eine allgemeingültige logische Formel ist. Z. B. entspricht dem Schluß von 4 und 4 — B auf B die Allgemeingültigkeit der Formel (4.& (4>B))=> B: Wir haben aber noch keinen systematischen Überblick über alle möglichen Folgerungen, die man ziehen kann. Zu einem solchen ver- hilft uns erst die ausgezeichnete konjunktive Normalform. Es mögen in unseren Axiomen die Grundaussagen X,,...X„ vor- kommen. Wir denken uns dann sämtliche Axiome durch & verbunden und die so entstehende Aussagenverbindung nach X;,... X ent- wickelt. Nehmen wir nun irgendeinen Konstituenten von X,, X,,...X,, der in der entstandenen ausgezeichneten Normalform nicht als kon- junktives Glied vorkommt. Durch geeignete Einsetzung von richtigen bzw. falschen Aussagen für die X,,..:X, kann man diesen Konsti- tuenten in ein Produkt von lauter falschen Aussagen, also in eine falsche Aussage verwandeln. Andererseits geht durch diese Einsetzung unsere ausgezeichnete Normalform in eine richtige Aussage über; denn jedes ihrer Konjunktionsglieder unterscheidet sich von dem betrachteten Konstituenten dadurch, daß mindestens an einer Stelle ein Faktor durch sein Gegenteil ersetzt ist. Der betrachtete Konstituent ist also keine logische Folgerung aus den Axiomen. Daraus ergibt sich, daß für jede Folgerung aus den Axiomen die ausgezeichnete Normalform nur solche Konstituenten enthält, die auch schon in der Entwicklung der Voraussetzung vorkamen. Unter Anwendung dieser Bemerkung ergibt sich für die Ableitung der Folgerungen aus einem System von Axiomen das folgende allge- meine Verfahren: Man verbinde sämtliche Axiome durch & und bilde für den so ent- stehenden Ausdruck die ausgezeichnete konjunktive Normalform. Von den Konjunktionsgliedern kann man muun irgendwelche auswählen und durch & verbinden, und erhält so alle Konsequenzen der Axiome in der ausgezeichneten Normalform. Mit Hilfe der S. 16 erwähnten Elimina- tionsregel läßt sich dann unter Umständen noch eine einfachere Schreib- weise für die Folgerung gewinnen. In dem erwähnten Fall, wo A und 4 — B als Axiome genommen werden, sieht das Verfahren folgendermaßen aus: 1 Über den Gebrauch der deutschen Buchstaben vgl. $ 5.