18 Der Aussagenkalkül.

zur disjunktiven Normalform geschehen, oder man kann auch den
negierten Ausdruck auf die konjunktive Normalform bringen. An diese
Probleme der Allgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit schließen sich
nun noch. weitere ähnliche Fragestellungen an.

Man habe einen Ausdruck, in dem die Grundaussagen X,,...X,,
Ya Y wvorkömmen. Yı,... Y mögen hier bestimmte, feste Aus-
sagen bedeuten. Wir fragen nun, welcher Bedingung müssen die
Yı, Ya,-.. Yın genügen, damit der Ausdruck bei beliebiger Wahl der
X richtig ist? Ferner: unter welchen Bedingungen für S Nist
der Ausdruck immer falsch?

Wir wollen bei der Beantwortung dieser Fragen, der Einfachheit
halber, %” gleich 2 annehmen. Für beliebiges ” ist die Lösung genau
analog., Es laute die Entwicklung des Ausdrucks nach X, und X,

Y Ya Xı X& D(Yı,ı ı Ym) Xı Xi& O (Yı, Ya Xr X
D

Wir dürfen hier annehmen, daß alle 4 Glieder wirklich vorkommen.
Sollte z. B. das Glied mit X,X, fehlen, so kann man einen Ausdruck
P, (Yı,... Ym) X,X, hinzufügen, in dem D, (Yı,...Y) eine immer
richtige Aussagenverbindung ist.

Wir behaupten nun: Notwendig und hinreichend dafür, daß die For-
mel (A) für beliebige X, und X, richtig ist, ist die Richtigkeit der Aussage:

A L A AA

Daß die Bedingung hinreichend ist, ist klar. Sie ist aber auch not-
wendig, denn wäre z. B. 9,(Y,, Yo,... Ym) nicht richtig, so ersetzen
wir X, durch eine richtige und X, durch eine falsche Aussage. (A) ist
dann äquivalent mit D;(Yı,...Y), also nicht richtig.

Entsprechend ergibt sich die Lösung des dualen Problems. Der
Ausdruck (A) ist in den X,,....X„ dann und nur dann erfüllbar, wenn
ME Y s beschaffen‘ sind, - daß

B OS DD a
zutrifft.

$ 9. Systematische Übersicht über alle Folgerungen aus
gegebenen Axiomen.

Wir hatten in $ 4 eine Methode erhalten, die es uns ermöglichte,
alle Verbindungen von Aussagen zu finden, die aus rein logischen
Gründen richtig sind, und bei einer gegebenen Aussagenverbindung
zu entscheiden, ob sie von dieser Art ist oder nicht. Es entsteht nun
die weitere Aufgabe, aus gegebenen Voraussetzungen ( A xiomen) alle Folge-