$ 7. Mannigfaltigkeit der Aussagenverbindungen. 15

äquivalent, wenn beide Aussagen für beliebige Werte der X,, ... X
den gleichen Wahrheitswert haben. Es kommen zunächst für die
Richtigkeit oder Falschheit der Grundaussagen 2” Möglichkeiten in Be-
tracht, da ja jede einzelne der Aussagen X,, X,, ... X„ richtig oder
falsch sein kann. Eine aus X,, X,,... X, zusammengesetzte Aussage
ist nun dadurch bestimmt, daß für jeden der 2” Fälle ausgemacht
wird, ob sie dabei richtig oder falsch ist. Es gibt demnach genau 2©"
verschiedene Aussagen, die sich aus X,, X,, ... X zusammensetzen.
Die 4 verschiedenen, mit X allein gebildeten Aussagen sind

K EK A
Die 16 verschiedenen Aussagen, welche sich aus X und Y bilden lassen,
sind
X; VK&n s V A
und deren Negationen:
XE Y Auı Yı V XE
Unter den 2@) Aussagen haben zwei eine Sonderstellung, nämlich
die immer richtige Aussage, welche z. B. durch X, v X, (oder auch
X, > X,) darstellbar ist, und die immer falsche, die man durch X, & X,
darstellen kann.
Einen formalen Überblick über die verschiedenen, aus X,, X,,...Xn
zu bildenden Aussagen gewinnt man durch den folgenden Satz:

Jeder mit den Grundaussagen X,,X,,...X„ gebildete Ausdruck ist
einer Teilsumme des ausmultiplizierten Ausdrucks:

(X1 & X1) M (X2 & _\'72) VE ("Xrn & ‘\'n)

äquivalent. Eine Ausnahme bilden dabei nur die immer vichtigen Aus-
drücke. Man kann aber auch die uneigentliche Teilsumme, die ent-
steht, wenn man alle Glieder fortläßt, als einen immer richtigen Aus-
druck ansehen. Die Summanden des obigen, entwickelten Ausdrucks
bezeichnet Schröder als die Konstituenten von X,,Xz,...Xn-

Der Beweis für diese Behauptung ergibt sich folgendermaßen: Man
bringe den mit X,,... X gebildeten Ausdruck zunächst auf die kon-
junktive Normalform. Da der Wahrheitswert eines Ausdrucks unge-
ändert bleibt, wenn man einen richtigen Summanden fortläßt, so
brauchen wir die Summenglieder nicht aufzuschreiben, die zu einem X
ein X enthalten. Benutzt man ferner die Regel, daß man statt X v X
nur X zu schreiben braucht, so ist jedes der noch übrigbleibenden
Summenglieder ein Produkt von lauter verschiedenen Faktoren aus
der Reihe: X;,. .4 X X; . Xa Fehlt in einem “ Summand - sowohl
X; als X;, so können wir zu diesem Summanden den immer falschen
Faktor X; & X; hinzufügen und wieder ausmultiplizieren, ohne daß der
Wahrheitswert der ganzen Aussage geändert wird. Schließlich enthält