14 Der Aussagenkalkül,

sprünglichen Ausdruck, bringt ihn dann auf die konjunktive Normal-
form und bildet dann wieder das Gegenteil gemäß unserer Regel. Man
kann auch den Umstand benutzen, daß in bezug auf die Regeln a1) bis
a4) sich Summe und Produkt vollkommen dual verhalten.

Wie man aus der konjunktiven Normalform ablesen kann, ob ein
Ausdruck immer rvichtig ist oder micht, so kann man mit Hilfe der dis-
junktiven entscheiden, ob er immer falsch ist. Dies ist dann und nur
dann der Fall, wenn jeder Faktor mit einer Grundaussage zugleich
ihr Gegenteil als Summand enthält,

Der Beweis dafür ergibt sich sofort, wenn man berücksichtigt,
daß das Gegenteil einer disjunktiven Normalform durch eine konjunk-
tive Normalform dargestellt wird, und daß eine Formel dann und nur
dann immer falsch ist, wenn das Gegenteil immer richtig ist.

Als Beispiel für die Anwendung der disjunktiven Normalform be-
trachten wir die Aussagenverbindung:

K ZEEKZ

Durch die duale Operation zum „Ausmultiplizieren‘“, d. h. durch An-
wendung des zweiten distributiven Gesetzes, erhält man die Normal-
form:
(X&Y&X&Z)V(X&Z&X&Z)V(Y&Y&X&Z)V(Y&Z&X&Z).
Hier enthält jeder Faktor eine Grundaussage und ihre Negation als
Summand, die ersten beiden X und X, der dritte Y und Y, der vierte
Z und Z. XY&YZ &X &Z stellt also eine Aussage dar, die immer
falsch ist.

Die disjunktive Normalform hat den Vorzug einer besonderen
Übersichtlichkeit. Die einzelnen Faktoren geben die verschiedenen
Möglichkeiten, unter denen die gegebene Aussagenverbindung zu Recht
besteht. So lautet z. B. die zu X — Y gehörige disjunktive Normal-
form (X & Y)(X & Y), und diese läßt erkennen, daß X und Y ent-
weder beide bestehen oder beide nicht bestehen müssen, falls X« Y
richtig sein soll.

$ 7. Mannigfaltigkeit der Aussagenverbindungen, die aus
gegebenen Grundaussagen gebildet werden können.

Eine weitere wichtige Bemerkung über den Kalkül bezieht sich
auf die Mannigfaltigkeit der Aussagen, die durch Kombination von
endlich vielen Grundaussagen X,, X,,.....X„ gebildet werden können.
Wir wollen dabei nur diejenigen Aussagen als verschieden betrachten,
die nicht logisch äquivalent sind. Unter dieser Voraussetzung besteht
die Mannigfaltigkeit nur aus endlich vielen Aussagen.

Wie wir früher erwähnten, ist eine aus X,, Xo, ... X gebildete
Aussage mit einer anderen derartigen Aussage dann und nur dann