12 Der Aussagenkalkül.

die verneinten richtige Aussagen eingesetzt werden. Es stellt dann ein
Summenglied der Normalform eine falsche Aussage dar, und daher
muß auch der ganze Ausdruck eine falsche Aussage darstellen, un-
abhängig davon, was man für die noch unbestimmten Aussagezeichen
einsetzt.

Wir wollen an einigen Beispielen zeigen, wie man nach der an-
gegebenen Methode Aussagen als immer richtig nachweist.

LE SX

Die Umformung nach: Regel a4) ergibt :

XX &XX.

Der letzte Ausdruck in der Normalform enthält in jedem Summen-
gliede eine Grundaussage und ihr Gegenteil, er ist also richtig.

BEK X

Die Umformung ergibt:

X&YvX (nach a4),
XYX (nach a3) .
Das letzte Produkt enthält X und X, ist also richtig.
BUE SV
Man erhält -
XMEXY [durch zweimalige Anwendung von a4)],
X(X & Y)Y [nach a3)],
XXY&XYY [nach a1]),
XXAYS& X YY-[nach 22)].
Das erste Produkt enthält X und X, das zweite Y und Y als Fak-

tor. (X&(X-—>Y))-—>Y ist also eine immer richtige Aussagenver-
bindung.

$ 5. Das Prinzip der Dualität.

Eine wichtige Bemerkung zur Charakterisierung unseres Kalküls
schließt sich an die Regel a3) an. Aus dieser läßt sich entnehmen, daß
von einem Ausdruck, welcher aus den Grundaussagen und ihren Nega-
Hionen allein durch Addition und Multiplikation gebildet ist, das Gegen-
teil dadurch erhalten wird, daß man die Zeichen & und v miteinander
vertauscht und die Grundaussagen gegen ihre Negationen auswechselt.

Hiervon können wir folgende Anwendung machen. Es sei ein
Ausdruck von der Form X , oder wie wir auch sagen, eine logische
Gleichung als immer richtig erwiesen. (Wir gebrauchen deutsche Buch-
staben zur Bezeichnung von Aussagenverbindungen, deren genaue
formale Gestalt unbestimmt gelassen wird, mitunter auch zur Ab-