8 4. Charakterisierung der immer richtigen Aussagenverbindungen. 11 Es sei übrigens bemerkt, daß die zu einer Aussagenverbindung ge- hörige Normaldarstellung nicht eindeutig ist. Z. B. gehört zu X > Y einmal nach (19) die Normaldarstellung XY & YX. Andererseits er- hält man durch Ausmultiplizieren der rechten Seite von (20): XXEXVYRENRENY. 8 4. Charakterisierung der immer richtigen Aussagen- verbindungen. Ob eine Aussagenverbindung, die sich aus den Grundaussagen X,, X,, ... X in bestimmter Weise mit Hilfe der logischen Zeichen &, v,>, , — aufbaut, richtig oder falsch ist, hängt nur davon ab, wie sich Richtigkeit und Falschheit auf die Grundaussagen verteilt. Der Wahrheitswert einer Aussagenverbindung bleibt ungeändert, falls eine Teilaussage durch eine gleichwertige ersetzt wird. Daraus ergibt sich übrigens, daß das Zeichen —> in unserem Kalkül eine ähnliche Rolle spielt wie das Zeichen = in der Algebra. Die erste Aufgabe für die Logik ist es nun, diejenigen Verbindungen von Aussagen zu finden, welche stets, d.h. unabhängig davon, 9b die Grundaussagen richtige oder falsche Behauptungen darstellen, richtig sind. Da wir zu jedem logischen Ausdruck einen äquivalenten in der Normalform angeben können, so kommt es zur Beantwortung dieser Frage nur darauf an, zu entscheiden, wann ein Ausdruck in der Normal- form eine immer rvichtige Aussagenverbindung darstellt. Diese Fest- stellung geschieht mit Hilfe der folgenden, leicht zu verifizierenden Regeln: b1) XX ist immer richtig. b2) Wenn X richtig ist und Y eine beliebige Aussage bedeutet, so ist auch XY richtig. b3) Wenn X richtig und Y richtig ist, dann ist auch X & Y richtig. Diese Regeln sind so aufzufassen, daß für X und Y irgendwelche Aussagen und Aussagenverbindungen eingesetzt werden dürfen. Gemäß den Regeln b1), b2), b3) und a1) werden alle Ausdrücke in der Normalform als richtig statuiert, die dadurch charakterisiert sind, daß in jedem Produkt mindestens eine der Grundaussagen zugleich mit ihrer Negätion als Faktor auftritt. Daß ein derartiger Ausdruck bei beliebigem Inhalt der Grundaussagen eine richtige Aussage dar- stellt, geht auch unmittelbar aus der Bedeutung der Negation sowie der Verknüpfungen „und‘“ und ‚„‚oder‘“ hervor. Dies sind aber auch die einzigen Ausdrücke, die stets richtig sind. Denn wenn bei einem Summengliede einer Normalform, das ja die Form eines Produktes hat, jede Grundaussage entweder nur unverneint oder nur verneint als Faktor auftritt, so kann dieses Produkt zu einer falschen Aussage gemacht werden, indem für die unverneinten Aussagezeichen falsche und für