$ 3. Normalform für die logischen Ausdrücke. S©° Für X &Y ist eine derartige Darstellung nicht möglich. Als Kuriosität sei erwähnt, daß man auch mit einem einzigen logischen Zeichen auskommt, wie es Sheffer gezeigt hat. Dieser benutzt als einzige Grundverknüpfung X/Y, in Worten: „X und Y bestehen nicht beide.‘“ X/X ist dann gleichbedeutend mit X. XX äSst äquivalent mit X / Y,d.h. X v Y. Da man v und 7 durch den Sheffer- schen Strich ausdrücken kann, so gilt das auch für die übrigen Grund- verknüpfungen., Als wichtig für die Darstellung der Gleichwertigkeitsbeziehung seien noch folgende Äquivalenzen erwähnt: (19) KL N, (20) X> YäqgX&YX&Y). (19) geht aus (14) hervor, indem man nach (11) die Verknüpfung —> durch v und — ersetzt. (20) ergibt sich unmittelbar aus der Be- deutung von , 8 3. Normalform für die logischen Ausdrücke. Wir haben bisher gesehen, wie man aus bestimmten Grundaus- sagen, die wir mit X, Y,Z ... bezeichnen, durch ein- oder mehrmalige Anwendung der Verknüpfungen &, v, >, ” neue Aussagen bilden kann. Die im vorigen Paragraphen aufgestellten Äquivalenzen lehren uns, daß es für inhaltlich gleichbedeutende Verbindungen von Grund- aussagen eine Vielfachheit der Darstellung gibt, bei denen man von einer zur anderen nach Belieben übergehen kann. Es ist nun bemerkens- wert, daß jede Aussagenverbindung durch äquivalente Umformung auf eine gewisse Normalform gebracht werden kann; und zwar besteht diese Normalform aus einer Summe von Produkten, in denen jeder Faktor entweder eine Grundaussage oder die Negation einer solchen ist. Wir bilden uns auf Grund der aufgestellten. Äquivalenzen folgende Regeln für die Umformung von Ausdrücken: a1) Mit den Zeichen & und v kann, wie in der Algebra, assoziativ, kommutativ und distributiv gerechnet werden. a2) X kamnn ersetzt werden durch X. a3) Für X& Y kan man XvY, für XvY kann man X& Y schreiben. a4) X> Y kann durch XvY, X> Y durch XY &YX* ersetzt werden. Es ist hier immer die gegenseitige Ersetzbarkeit gemeint. Die Umformung geschieht nun in der folgenden Weise: Zunächst kann jeder Ausdruck unter Benutzung der Regel a4) durch einen äqui- * Wir gebrauchen hier und im folgenden häufig die schon erwähnte be- queme Schreibweise, bei der das Zeichen v fortgelassen wird.