8 Der Aussagenkalkül,

An diesen Äquivalenzen zeigt sich eine Vielfachheit in der Dar-
stellung von Aussagenverkmüßpfungen durch die eingeführten Zeichen.
Es wird so die Frage nahegelegt, ob nicht einige von den logischen
Grundverknüpfungen entbehrlich sind. Das ist tatsächlich der Fall.
Aus (14) ergibt sich zunächst, daß man das Zeichen & entbehren kann,
da sich die Verknüpfung X Y durch — und & wiedergeben läßt.
Aus (10) und (17) folgt weiter, daß auch — und v entbehrlich sind, daß
man also mit & und — auskommen kann. Ebenso ergibt sich aus (11)
und (18), daß auch v und — genügen. Desgleichen sind — und — aus-
reichend; denn nach (17) läßt sich zunächst & durch v und —, und nach
(12) v durch — und — ausdrücken.

Die Darstellung mit — und — hat Frege, die mit v und — Russell
zugrunde gelegt (d. h. unter Benutzung anderer Symbole). Am natür-
lichsten ist es wohl, von der Darstellung durch & und — auszugehen,
wie es in Brentanos Urteilslehre geschieht. Besonders zweckmäßig ist
der Gebrauch der drei Zeichen &, v, —, da sich infolge der Äquivalenzen
(2) bis (6) dann eine besonders einfache rechnerische Behandlung der
logischen Ausdrücke ergibt.

Mit > und — können nicht alle Verknüpfungen dargestellt werden.
So ist schon X & Y nicht/mit diesen Zeichen darstellbar. Zum Beweis
wollen wir zunächst annehmen, daß nur die Grundaussagen X und Y
gebraucht werden. Wir betrachten dann die 8 Aussagen:

OSX Y X SA SKT
Negiert man eine dieser Aussagen, oder setzt man zwei dieser Aussagen
durch > zusammen, so erhält man wieder Aussagen, die einer der
8 Aussagen äquivalent sind. Z.B. ist (X>Y)= Yäq Y; (X > Y)
> (X > Y) äq X > X usw. Da die Grundaussagen X und Y unter den
8 Aussagen selbst vorkommen, so ergibt sich, daß jede Aussage, die aus X
und Y nur durch Anwendung von &> und — gebildet wird, einer dieser
8 Aussagen äquivalent ist. X& Y ist aber keiner dieser Aussagen äqui-
valent. — Gäbe es eine mit X& Y äquivalente und nur mit & und — ge-
bildete Aussagenverknüpfung, die noch die Grundaussagen. Z, U;. ; T
enthält, so müßte die Äquivalenz auch bestehen, tallsman Zi. 02 T
alle durch X ersetzt. Damit kommen wir auf den vorigen Fall zurück.

Die Negation ist bei der Darstellung der Aussagenverknüpfungen
unentbehrlich. Z. B. läßt sich X ohne Anwendung der Negation nicht
darstellen. Alle mit dem. unbestimmten Zeichen X durch Anwen-
dung von &, v, —, » gebildeten Ausdrücke stellen nämlich nur solche
Aussagen dar, welche richtig sind, sofern X richtig ist, während X den
entgegengesetzten Wahrheitswert hat wie X.

Bemerkenswert ist, daß die Verknüpfung v durch — allein, ohne
Anwendung der Negation ausgedrückt werden kann. Es gilt nämlich

X anı Dr