$ 2. Äquivalenzen; Entbehrlichkeit von Grundverknüpfungen. 7

Z. B. werde bei einer Prüfung in Mathematik verlangt, daß der
Kandidat mindestens in einem der Gebiete Arithmetik und Geometrie
beschlagen sei. X bedeute die Aussage: ‚,Der Kandidat kann Arith-
metik‘‘, Y bedeute:,, Der Kandidat kann Geometrie.‘‘ Die Anforderung
des Examens wird von dem Kandidaten erfüllt, wenn X v Y richtig
ist. Fällt nun der Kandidat bei der Prüfung durch, liegt also das Gegen-
teil von X v Y vor, so bedeutet dies: „„‚Der Kandidat kann nicht Arith-
metik und er kann nicht Geometrie,‘‘ was durch X & Y dargestellt wird.

Weitere Äquivalenzen ergeben sich, wenn wir die Zeichen — und
» heranziehen.

Da die Aussage X —> Y bedeutet, daß nicht gleichzeitig X richtig
und Y falsch‘ 1st9so hat man

(10) X->YäqX&Y.

Unter Benutzung von (8) kann man für X & Y auch X v Y, und
nach (1) auch X v Y schreiben. Es gilt also auch
(11) AA E

Nimmt man in dieser Äquivalenz X statt X und benutzt man,
daß Xäq X, so erhält man die neue Beziehung
(12) DL A DE

Nach (10) hat man Y>X äq Y & X. Nach (1) kann man dafür
Y & X, nach (2) X & Y und nach (10) X-—>Y setzen. Es ergibt sich
also:
(13) XE#g SX

Bestehen ferner die beiden Aussagen X —> Y und Y —> X zu Recht,
so heißt das, daß nicht gleichzeitig X richtig und Y falsch, und auch
nicht gleichzeitig Y richtig und X falsch ist. Die Aussage (X—>Y) & (Y—>X)
bedeutet also, daß X und Y beide den gleichen Wahrheitswert haben.
Mit anderen Worten, es besteht die Äquivalenz

(14) X Kg SE
Aus der Bedeutung der Verknüpfung > ergibt sich unmittelbar,

 

daß
(15) X& Yäq Xx
(16) XSg

Weiter erhält man aus (9) und (8), indem man von beiden Seiten
der Äquivalenz das Gegenteil nimmt und benutzt, daß die doppelte
Verneinung nach (1) fortgelassen werden kann:

(17) X Y q &V,
(18) X&YäqXvY.