6 Der Aussagenkalkül. »

hat man RvF->R, R&RKR. Für die Kombination %, &, F
stellen also beide Seiten der Äquivalenz richtige Aussagen dar. Ebenso
kann man sich überzeugen, daß für alle übrigen Einsetzungen von
richtigen bzw. falschen Aussagen für X, Y, Z die beiden Seiten der Äqui-
valenz (6) jedesmal den gleichen Wahrheitswert ergeben. In derselben
Weise kann man die Äquivalenzen (2) —(5) nachprüfen. Diese Nach-
prüfung sei dem Leser überlassen. Die Äquivalenzen sind ja auch ohne
weiteres evident.

Aus den Äquivalenzen (2) bis (6) ergibt sich ein kommutatives, asso-
ziatives und distributives Gesetz. Wegen dieser Analogie zur Algebra
wollen wir X& Y auch als die Zogische Summe und „ AVwY Sala’’das
logische Produkt bezeichnen. Aus den angegebenen Gesetzen folgt,
daß man bei logischen Ausdrücken in ähnlicher Weise wie in der Algebra
„ausmultiplizieren‘“ bzw. einen gemeinsamen Faktor ausklammern
kann. — Ebensogut hätten wir übrigens X &Y als logisches Produkt
und X v Y als logische Summe bezeichnen können, und diese Bezeich-
nung ist sogar in der Logik gebräuchlicher. Es gilt nämlich, im Unter-
schied zur Algebra, noch ein zweites distributives Gesetz:

(7) X& (YvZ)äq (X&Y)v(X&Z).

Ein Beispiel zur Erläuterung des zweiten distributiven Gesetzes ist
fölgendes: Es werde die Wetterprophezeiung ausgesprochen: „Es
regnet heute, und morgen oder übermorgen scheint die Sonne‘“. Die-
selbe Behauptung läßt sich auch so ausdrücken: „‚Es regnet heute, und
morgen scheint die Sonne, oder es regnet heute und übermorgen scheint
die Sonne‘“. — s }

Wegen des kommutativen und assoziativen Gesetzes können mehr-
gliedrige Summen und Produkte ohne Klammern geschrieben werden.
Ferner setzen wir zur weiteren Ersparung von Klammern fest, daß
V enger bindet als & und & wieder enger als — und &. Das Zeichen v
kann auch ebenso wie in der Algebra das Zeichen - fortgelassen werden.

Bei der Verbindung der Negation mit & und v ist die folgende Be-
ziehung wesentlich :

(8) XC ä

Es bedeute z. B. X die Behauptung: „Das Dreieck A ist recht-
winklig‘“, Y bedeute: ‚„„Das Dreieck A #8t gleichschenklig‘‘. Der Ver-
@bindung X &Y entspricht dann die Aussage: ‚„„Das Dreieck /A\ .ist
rechtwinklig und gleichschenklig‘“‘. Das_ kontradiktorische Gegenteil
hiervon ist die Aussage: ‚„Das Dreieck A ist nicht rechtwinklig oder
nicht gleichschenklig‘‘, und diese Aussage wird durch X v Y dargestellt.
Ebenso gilt: ;
(9) S

s XNM ÄQNENT-