$ 2. Äquivalenzen; Entbehrlichkeit von Grundverknüpfungen. 5

Zur formalen Kennzeichnung der eingeführten Operationen ist zu
bemerken, daß die Negation X allein eingliedrig ist, während die übrigen
Operationen alle zweigliedrig sind.

8 2. Äquivalenzen ;
Entbehrlichkeit von Grundverknüpfungen.

Aus gegebenen Aussagen lassen sich durch ein- oder mehrmalige
Anwendung der Grundverknüpfungen in mannigfacher Weise zusam-
mengesetzte Aussagen bilden. Z.B. entsteht aus den Grundaussagen
X, Y, Z die zusammengesetzte Aussage (X —> Y) & (Y—>Z)& (X vZ).
Es ist nun bemerkenswert, daß verschiedene dieser Aussagenverknüp-
fungen gleichbedeutend sind. So ist X gleichbedeutend mit X; die
doppelte Verneinung ist dasselbe wie eine Bejahung. Solche gleich-
bedeutende Aussagenverknüpfungen wollen wir im folgenden „äqui-
valent‘“ nennen. Zur Abkürzung schreiben wir

(1) X äq Au

Wir wollen im folgenden eine Reihe weiterer Äquivalenzen zu-
sammenstellen. Zunächst zeigt sich in der Wirkungsweise der Zei-
chen & und v eine Analogie mit den Zeichen + und - in der Algebra.
Es bestehen nämlich die folgenden Äquivalenzen:

(2) AL AG LO

(3) X&(Y&Z)äq(X&Y)&Z,

(4) XN V,

(5) X V{YwyZ) äg Xr Z

(6) X y (& Z) AG XX Z

Von der Richtigkeit dieser Äquivalenzen, ebenso wie aller fol-
genden, kann man sich auf folgende Weise überzeugen: Zwei Aussagen-
verknüpfungen etwa der Grundaussagen X, Y,Z sind offenbar dann
und nur dann äquivalent, wenn bei jeder gleichen Einsetzung von
richtigen oder falschen Aussagen für X, Y,Z die beiden Aussagenver-
knüpfungen auch den gleichen Wahrheitswert ergeben. Ich nehme z. B.
bei der Äquivalenz (6) für X, Y, Z die Aussagen %, %, . Ist die Äqui-
valenz (6) .richtig, so muß sein

KRvF&FI)->RVF) &R vF)-
Nun ist (nach Definition der Verknüpfung &) S &F gleichwertig
mit &, RVF-{R, also KRv (F& F) R Auf der rechten Seite
* Es sei hervorgehoben, daß die hier gebrauchte Schriftabkürzung äq nicht
zu unseren logischen Symbolen gehört.